《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

8. (★★)某商店经营一种商品,进价为2.5元,据市场调查,销售单价是13.5元时,平均每天销售量是500件,而销售单价每降低1元,平均每天就可以多售出100件.
(1)假设每件商品降价$x$元,商店每天销售这种商品的利润是$y$元,请写出$y与x$间的函数关系式,并写出$x$的取值范围.
(2)商店准备降价销售该商品,每件商品销售价是多少元时,商店每天销售这种商品的利润最大? 最大利润是多少?

答案：
(1) 每件商品降价$x$元时，销售单价为$(13.5 - x)$元，每件利润为$(13.5 - x - 2.5) = (11 - x)$元，销售量为$(500 + 100x)$件。
利润$y=(11 - x)(500 + 100x)$，展开得：
$y = -100x^2 + 600x + 5500$。
$x$的取值范围：由销售单价非负且不低于进价，得$13.5 - x \geq 2.5$，即$x \leq 11$，又$x \geq 0$，故$0 \leq x \leq 11$。
(2) 二次函数$y = -100x^2 + 600x + 5500$中，$a = -100 ＜ 0$，抛物线开口向下，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{600}{2×(-100)} = 3$。
当$x = 3$时，销售单价为$13.5 - 3 = 10.5$元，最大利润$y = -100×3^2 + 600×3 + 5500 = 6400$元。
(1) $y = -100x^2 + 600x + 5500$，$0 \leq x \leq 11$；
(2) 每件商品销售价10.5元时，利润最大，最大利润6400元。

9. (★★★)(2023·盘锦)某工厂生产一种产品,经市场调查发现,该产品每月的销售量$y$(件)与每件售价$x$(万元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表:

(1)求$y与x$之间的函数关系式(不写自变量的取值范围).
(2)该产品今年3月份的售价为每件35万元,利润为450万元.
①求今年3月份每件产品的成本是多少万元.
②4月份工厂为了降低成本,提高产品质量,投资了450万元改进设备和革新技术,使每件产品的成本比3月份下降了14万元.若4月份每件产品的售价至少为25万元,且不高于30万元,求这个月获得的利润$w$(万元)与每件售价$x$(万元)之间的函数关系式,并求出最少利润是多少万元.

答案：
(1)y=-2x+100；
(2)①20；②w=-2x²+112x-600，950