《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

18. (★★)已知$y = y_{1} - y_{2}$,且$y_{1}与x$成反比例,$y_{2}与x - 2$成正比例,当$x = 1$时,$y = -1$；当$x = 3$时,$y = 5$。求$x = 5时y$的值。

答案： 设 $y_1 = \frac{k_1}{x}$（$k_1 \neq 0$），$y_2 = k_2(x - 2)$（$k_2 \neq 0$）。
根据 $y = y_1 - y_2$，有：
$y = \frac{k_1}{x} - k_2(x - 2)$，
利用 $x = 1$ 时，$y = -1$ 的条件，代入得：
$-1 = \frac{k_1}{1} - k_2(1 - 2)$，
$-1 = k_1 + k_2$，
利用 $x = 3$ 时，$y = 5$ 的条件，代入得：
$5 = \frac{k_1}{3} - k_2(3 - 2)$，
$5 = \frac{k_1}{3} - k_2$，
解这个二元一次方程组：
$\begin{cases}-1 = k_1 + k_2,\\5 = \frac{k_1}{3} - k_2.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k_1 = 3,\\k_2 = -4.\end{cases}$
因此，$y$ 的解析式为：
$y = \frac{3}{x} + 4(x - 2)$，
当 $x = 5$ 时，代入解析式得：
$y = \frac{3}{5} + 4 × (5 - 2)$，
$y = \frac{3}{5} + 12$，
$y = 12.6$。
故答案为：$12.6$。

19. (★★)已知反比例函数$y = \frac{m}{x}$,当$x = a$时,$y = a$；当$x = 3a$时,$y = -2$。求$m$的值。

答案： 当$x = a$时，$y = a$，代入$y = \frac{m}{x}$得：$a = \frac{m}{a}$，即$m = a^2$。
当$x = 3a$时，$y = -2$，代入$y = \frac{m}{x}$得：$-2 = \frac{m}{3a}$，即$m = -6a$。
由$m = a^2$和$m = -6a$可得：$a^2 = -6a$，$a^2 + 6a = 0$，$a(a + 6) = 0$，解得$a = 0$或$a = -6$。
因为$x = a$在反比例函数中，$a \neq 0$，所以$a = -6$。
则$m = a^2 = (-6)^2 = 36$。
结论：$m = 36$。

20. (★★)(2022·宁夏)在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图(如图【image】)中,电压$U$一定时,油箱中浮标随油面下降而落下,带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动,从而改变电路中的电流,电流表的示数对应油量体积,把电流表刻度改为相应油量体积数,由此知道油箱里剩余油量。在不考虑其他因素的条件下,油箱中油的体积$V与电路中总电阻R_{总}(R_{总} = R + R_{0})$是反比例关系,电流$I与R_{总}$也是反比例关系,则$I与V$的函数关系是【B】

A.反比例函数
B.正比例函数
C.二次函数
D.以上选项都不对

答案： B

1. (★)用描点法画一个函数的图象,一般步骤是:列表、描点、连线.

答案： 描点、连线

2. (★)反比例函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的图象属于双曲线,它的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内 $ y $ 值随 $ x $ 值的增大而减小.

答案： 双曲线；一、三；减小

3. (★★)在同一直角坐标系中,对于反比例函数 $ y = \frac{1}{x} $ 与 $ y = -\frac{1}{x} $ 的图象,下列说法不正确的是【B】
A.两图象都是由两条曲线组成的
B.两图象仅关于 $ x $ 轴对称
C.随着 $ |x| $ 的不断增大(或减小),两图象均越来越接近坐标轴
D.两图象既关于 $ x $ 轴对称,也关于 $ y $ 轴对称

答案： B

4. (★)反比例函数 $ y = -\frac{8}{x} $ 的图象大致是图 26.1 - 2 中的【B】

答案： B