《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

14. (★★)(2022·丽水)如图27.2 - 25,在$6×6$的方格纸中,点$A$,$B$,$C$均在格点上,试按要求画出相应格点图形.
(1)如图27.2 - 25①,作一条线段,使它是$AB$向右平移一格后的图形;
(2)如图27.2 - 25②,作一个轴对称图形,使$AB和AC$是它的两条边;
(3)如图27.2 - 25③,作一个与$\triangle ABC$相似的三角形,相似比不等于1.

答案：
(1) 将线段 $AB$ 向右平移一格，得到线段 $A'B'$，其中 $A'$ 是 $A$ 向右平移一格后的点，$B'$ 是 $B$ 向右平移一格后的点。
(2) 以 $AB$ 和 $AC$ 为两条边，作一个轴对称图形。
取点 $D$，使得 $AB$ 和 $AD$（即 $AC$ 的对称线段）对称于 $A$ 的垂直平分线，
构成等腰三角形 $ABD$。
(3) 在图 27.2 - 25③ 中，取点 $A'$，使得 $A'B' = 2 × AB$，$A'C' = 2 × AC$，$B'C' = 2 × BC$，
构成与 $\triangle ABC$ 相似的三角形 $A'B'C'$，相似比为 2:1。

15. (★★)(2022·河池改编)如图27.2 - 26,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1)$,$B(2,3)$,$C(1,2)$.
(1)画出与$\triangle ABC关于y轴对称的\triangle A_1B_1C_1$;
(2)在第三象限内画一个$\triangle A_2B_2C_2$,使它与$\triangle ABC$相似,且相似比为$2:1$,其中点$C_2的坐标是(-2,-4)$,并写出点$A_2和B_2$的坐标.

答案：
(1) $\triangle A_1B_1C_1$的顶点坐标分别为$A_1(-4, 1)$, $B_1(-2, 3)$, $C_1(-1, 2)$。
画图时，将$A$, $B$, $C$分别关于$y$轴对称到$A_1$, $B_1$, $C_1$的位置。
(2) $\triangle A_2B_2C_2$的顶点坐标：
$A_2$的坐标为$(-8, 2 - 2 × (1 - 0) ) = (-8, 2 - 2) = (-8, 0 - 2 × 1? 修正为: 相似比为2，因此A_2坐标： (4-2 × 4, 1-2 × 1) = (-4, -1) × 2? 重新计算:根据C(1,2) -＞ C2(-2, -4):B(2,3) -＞ B2(2 × (-2 -0? 重新理解:原点比例:C(1,2) 以C为位似中心在第三象限放大2倍，A(4,1) -＞ A2: (4-1) × 2 + 1? 不，直接放大距离并反向:正确方法:从C到A: (4-1, 1-2) = (3, -1)放大2倍: (6, -2)从C出发: C2(-2, -4) + (6, -2)在第三象限? 6为正，应反向:应为: C2 + 2 × (A - C)但方向第三象限，所以:A2: C2 + 2 × (A - C) = (-2, -4) + 2 × (3, -1) = (-2+6, -4-2) = (4, -6) 不在第三象限。错误，应直接放大坐标差并保持方向第三象限，即负方向:正确:A2: C2坐标(-2,-4), A原坐标(4,1), 相似比2:1,A2坐标: C2 + 2(C到A向量但方向第三象限，即负:向量CA = A - C = (3, -1)第三象限方向，所以向量应为负: -2 × (3, -1) = (-6, 2)A2 = C2 + (-6, 2) = (-2-6, -4+2) = (-8, -2)同理，B(2,3) - C(1,2) = (1,1)B2向量: -2 × (1,1) = (-2,-2)B2坐标: (-2-2, -4-2) = (-4,-6)所以：$A_2(-2 × (4-1) - 2, -2 × (1-2) -4? 直接给出:
$A_2$的坐标为$(-2, -2)$（根据相似中心C和比例计算，但上述已正确计算为(-8,-2)? 重新确认:
标准方法:
设C为位似中心，相似比2，第三象限，即坐标变换:
$A_2 = C + 2 × (A - C) × (-1)$ (因为第三象限，x,y均为负)
$A - C = (3, -1)$
$2 × (3, -1) × (-1) = (-6, 2)$
$A_2 = (1,2) + (-6,2) = (-5,4)? 不对，C2已给(-2,-4)应直接用C2和相似比，但C2是给定的，所以:从C2到A2的向量应与从C到A的向量成比例且方向相同（因为第三象限是整体放大，但坐标原点在左下，所以方向应保持）但题目说“在第三象限内画”，且给定C2(-2,-4)，所以应以C2为位似中心放大。所以：$A_2 - C_2 = 2 × (A - C)$$A - C = (3, -1)$$A_2 - (-2,-4) = (6, -2)$$A_2 = (-2+6, -4-2) = (4, -6)$ 不在第三象限。错误，相似比2:1且第三象限，意味着整个三角形放大并移动到第三象限，所以向量应反向。正确：$A_2 - C_2 = -2 × (A - C)$$A_2 - (-2,-4) = -2 × (3, -1) = (-6, 2)$$A_2 = (-2-6, -4+2) = (-8, -2)$同理，$B_2 - C_2 = -2 × (B - C) = -2 × (1,1) = (-2,-2)$$B_2 = (-2-2, -4-2) = (-4,-6)$所以：$A_2$的坐标为$(-8, -2)$? 但C2(-2,-4), A2(-8,-2)与C2距离: dx=-6, dy=2, 而原A与C距离dx=3,dy=-1, 比例2但方向: dx原3,现-6; dy原-1,现2? dy方向反了。错误在于：第三象限放大，x和y都应向负方向，所以dy也应为负。正确计算：$A - C = (4-1, 1-2) = (3, -1)$放大2倍并反向：$2 × (3, -1) × (-1) = (-6, 2)$? 反向应是对整个向量，但y方向原为负，放大后应为更负。标准：相似比2:1，第三象限，意味着坐标变换：新坐标 = 位似中心 + 相似比 * (原坐标 - 位似中心) 但位似中心是C，不是C2。题目给定C2(-2,-4)，所以应以C2为位似中心。所以：$A_2 = C_2 + 2 × (A - C)$ 但这样A2不在第三象限。题目要求第三象限，所以相似比应为负，即：$A_2 = C_2 + k × (A - C)$，k为负。相似比2:1，所以|k|=2，且第三象限，k=-2。所以：$A_2 = (-2,-4) + (-2) × (3, -1) = (-2,-4) + (-6,2) = (-8,-2)$$B_2 = (-2,-4) + (-2) × (1,1) = (-2,-4) + (-2,-2) = (-4,-6)$$C_2$已给(-2,-4)所以点$A_2$和$B_2$的坐标分别为$(-2 × 3 -2, -2 × (-1) -4? 直接:
$A_2(-8, -2)$, $B_2(-4, -6)$
但检查：原三角形高：A(4,1), B(2,3), C(1,2)
新三角形：A2(-8,-2), B2(-4,-6), C2(-2,-4)
相似比：距离C到A：√(3^2+(-1)^2)=√10
距离C2到A2：√((-8+2)^2+(-2+4)^2)=√(36+4)=√40=2√10，比例2:1
方向：向量CA(3,-1), C2A2(-6,2)= -2*(3,-1)? -2*3=-6, -2*(-1)=2，是的。
所以正确。
[答案]
(1) 画图：$A_1(-4,1)$, $B_1(-2,3)$, $C_1(-1,2)$
(2) 画图：$\triangle A_2B_2C_2$，$A_2(-8,-2)$，$B_2(-4,-6)$，$C_2(-2,-4)$（已给）
点$A_2$和$B_2$的坐标：$A_2(-8,-2)$，$B_2(-4,-6)$

1. (★)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

答案： 成比例；相等

2. (★)下列能判定$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$相似的条件是【C】
A.$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}$
B.$\frac{AB}{AC}= \frac{A'B'}{A'C'}且\angle A= \angle C'$
C.$\frac{AB}{A'B'}= \frac{BC}{A'C'}且\angle B= \angle A'$
D.$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}且\angle B= \angle B'$

答案： C

3. (★)如图27.2-27,比例规是伽利略发明的一种画图工具,使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短. 它是由长度相等的两脚$AD和BC$交叉构成的. 如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使$OA = 3OD$,$OB = 3OC$),然后张开两脚,使$A$,$B两个尖端分别在线段l$的两个端点上,若量得$CD$的长度,便可知$AB$的长度. 本题依据的主要数学原理是【C】

A.三边成比例的两个三角形相似
B.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
D.平行线分线段成比例

答案： C