《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

9. (★★) 某二次函数图象的顶点为 $ A(1,-4) $,且过点 $ B(3,0) $,求该二次函数的解析式.

答案： 设二次函数的解析式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。
已知顶点$A(1,-4)$，则$h=1$，$k=-4$，所以解析式为$y=a(x-1)^2 - 4$。
因为函数图象过点$B(3,0)$，将$x=3$，$y=0$代入解析式得：
$0 = a(3 - 1)^2 - 4$
$0 = a×4 - 4$
$4a = 4$
$a = 1$
所以该二次函数的解析式为$y=(x - 1)^2 - 4$，展开得$y=x^2 - 2x - 3$。
结论：$y=x^2 - 2x - 3$

10. (★★) 对称轴为直线 $ x = \frac{7}{2} $ 的抛物线经过点 $ A(6,0) $ 和 $ B(0,4) $,求该抛物线的解析式.

答案： 答题卡：
设抛物线的解析式为 $y = a(x - h)^{2} + k$，其中 $h = \frac{7}{2}$。
代入 $h$ 的值，得到抛物线的解析式为：
$y = a\left(x - \frac{7}{2}\right)^{2} + k$
使用点 $A(6,0)$ 代入解析式，得到：
$0 = a\left(6 - \frac{7}{2}\right)^{2} + k$
$0 = a\left(\frac{5}{2}\right)^{2} + k$
$0 = \frac{25}{4}a + k \quad (方程1)$
使用点 $B(0,4)$ 代入解析式，得到：
$4 = a\left(0 - \frac{7}{2}\right)^{2} + k$
$4 = a\left(-\frac{7}{2}\right)^{2} + k$
$4 = \frac{49}{4}a + k \quad (方程2)$
解方程组（方程1和方程2）得到 $a$ 和 $k$ 的值：
$\begin{cases}\frac{25}{4}a + k = 0 \\frac{49}{4}a + k = 4\end{cases}$
两式相减，得到：
$6a = 4$
$a = \frac{2}{3}$
将 $a = \frac{2}{3}$ 代入方程1，得到：
$k = - \frac{25}{4} × \frac{2}{3} = - \frac{25}{6}$
因此，抛物线的解析式为：
$y = \frac{2}{3}\left(x - \frac{7}{2}\right)^{2} - \frac{25}{6}$
展开后得到：
$y = \frac{2}{3}x^{2} - \frac{14}{3}x + 4$

11. (★★) 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ $ (a \neq 0) $ 中自变量 $ x $ 和函数值 $ y $ 的部分对应值如下表：

求这个二次函数的解析式.

答案： 将x=0，y=-2代入y=ax²+bx+c，得c=-2。
将x=-1，y=-2代入，得a(-1)²+b(-1)+c=-2，即a - b + c = -2，
∵c=-2，
∴a - b = 0①。
将x=1，y=0代入，得a
(1)²+b
(1)+c=0，即a + b + c = 0，
∵c=-2，
∴a + b = 2②。
联立①②，解得a=1，b=1。
∴二次函数解析式为y=x²+x-2。

12. (★★) 如图 22.1 - 21,二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 图象的顶点坐标为 $ (-1,-2) $,且过 $ (1,0) $.
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 当 $ -3 \leq x \lt 3 $ 时,函数值 $ y $ 的取值范围是$-2 \leq y ＜ 6$.

(1)$ y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 2 $

答案：
(1) $ y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 2 $；
(2) $ -2 \leq y ＜ 6 $