《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

20. (★★)(2023·盘锦)如图 27 - 17,$ △ABO $ 的顶点坐标是 $ A(2,6) $,$ B(3,1) $,$ O(0,0) $,以点 $ O $ 为位似中心,将 $ △ABO $ 缩小为原来的 $ \frac{1}{3} $,得到 $ △A'B'O $,则点 $ A' $ 的坐标为$ \left( \frac{2}{3}, 2 \right) $ 或 $ \left( -\frac{2}{3}, -2 \right) $。
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答案： $ \left( \frac{2}{3}, 2 \right) $ 或 $ \left( -\frac{2}{3}, -2 \right) $

21. (★★)(2023·绥化)如图 27 - 18,在平面直角坐标系中,$ △ABC $ 与 $ △AB'C' $ 的相似比为 $ 1 : 2 $,点 $ A $ 是位似中心,已知点 $ A(2,0) $,点 $ C(a,b) $,$ ∠C = 90° $,则点 $ C' $ 的坐标为______(2a-2,2b)。(结果用含 $ a $,$ b $ 的式子表示)

答案： (2a-2,2b)

22. (★★)(2024·德州)如图 27 - 19,在 $ Rt△ABC $ 中,$ ∠ABC = 90° $,$ BD ⊥ AC $,垂足为 $ D $,$ AE $ 平分 $ ∠BAC $,分别交 $ BD $,$ BC $ 于点 $ F $,$ E $。若 $ AB : BC = 3 : 4 $,则 $ BF : FD $ 为【A】

A.$ 5 : 3 $


B.$ 5 : 4 $
C.$ 4 : 3 $
D.$ 2 : 1 $
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答案： A

23. (★★)(2021·衢州)将一副三角板如图 27 - 20 所示放置在平面直角坐标系中,顶点 $ A $ 与原点 $ O $ 重合,$ AB $ 在 $ x $ 轴正半轴上,且 $ AB = 4\sqrt{3} $,点 $ E $ 在 $ AD $ 上,$ DE = \frac{1}{4}AD $,将这副三角板整体向右平移6个单位长度,$ C $,$ E $ 两点同时落在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上。

答案： 【解析】：设向右平移 $ t $ 个单位长度。
由题意，一副三角板中含30°角的直角三角形 $ \triangle ABC $，$ AB=4\sqrt{3} $（$ x $ 轴正半轴），$ \angle ABC=90° $，$ \angle BAC=30° $，则 $ BC=AB \cdot \tan30°=4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4 $，故 $ C(4\sqrt{3},4) $。
含45°角的直角三角形 $ \triangle ADE $，直角边 $ AD=4 $（$ y $ 轴正半轴），$ E $ 在 $ AD $ 上，$ DE=\frac{1}{4}AD=1 $，则 $ AE=AD-DE=3 $，故 $ E(0,3) $。
平移后 $ C(4\sqrt{3}+t,4) $，$ E(t,3) $，因两点在 $ y=\frac{k}{x} $ 上，有 $ 4(4\sqrt{3}+t)=3t $，解得 $ t=6 $。
【答案】：6

24. (★★★)(2021·聊城)如图 27 - 21,在 $ △ABC $ 中,$ AB = AC $,$ ⊙O $ 是 $ △ABC $ 的外接圆,$ AE $ 是直径,交 $ BC $ 于点 $ H $,点 $ D $ 在 $ \overset{\LARGE{\frown}}{AC} $ 上,连接 $ AD $,$ CD $,过点 $ E $ 作 $ EF // BC $ 交 $ AD $ 的延长线于点 $ F $,延长 $ BC $ 交 $ AF $ 于点 $ G $。
(1) 求证：$ EF $ 是 $ ⊙O $ 的切线；
(2) 若 $ BC = 2 $,$ AH = CG = 3 $,求 $ EF $ 和 $ CD $ 的长。
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答案：
(1) 证明：
∵AB=AC，AE是⊙O的直径，
∴AE垂直平分BC，即AH⊥BC，∠AHC=90°。
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠AHC=90°，即EF⊥AE。
∵AE是直径，
∴EF是⊙O的切线。
(2) 设⊙O半径为r，则OA=OE=r，OH=3 - r。
∵AE垂直平分BC，BC=2，
∴HC=1。
在Rt△OHC中，OC²=OH² + HC²，即r²=(3 - r)² + 1²，解得r=5/3。
∴AE=2r=10/3，OH=3 - 5/3=4/3。
∵EF//BC，
∴△AHG∽△AEF。
HG=HC + CG=1 + 3=4，AH=3，AE=10/3。
由AH/AE=HG/EF，得3/(10/3)=4/EF，解得EF=40/9。
连接CE，AE为直径，∠ACE=90°。
AC=√(AH² + HC²)=√(3² + 1²)=√10，CE=√(AE² - AC²)=√[(10/3)² - (√10)²]=√10/3。
∵∠ADC=∠ACG，∠CAD=∠GAC，
∴△ACD∽△AGC。
AG=√(AH² + HG²)=5，由CD/GC=AC/AG，得CD/3=√10/5，解得CD=3√10/5。
EF=40/9，CD=3√10/5。