《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

12. (★) 已知函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图 22 - 4 所示,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c - 4 = 0 $ 的根的情况是 【A】

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个异号的实数根

答案： A

13. (★★) 若二次函数 $ y = x^2 + bx $ 的图象的对称轴是直线 $ x = 2 $,则关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + bx = 5 $ 的解为 【D】
A.$ x_1 = 0 $,$ x_2 = 4 $
B.$ x_1 = 1 $,$ x_2 = 5 $
C.$ x_1 = 1 $,$ x_2 = -5 $
D.$ x_1 = -1 $,$ x_2 = 5 $

答案： D

14. (★★) 若抛物线经过点 $ A(2, 0) $ 和点 $ B(-1, 0) $,且与 $ y $ 轴交于点 $ C $,若 $ OC = 2 $,则这条抛物线的解析式是 【D】
A.$ y = x^2 - x - 2 $
B.$ y = -x^2 - x - 2 $ 或 $ y = x^2 + x + 2 $
C.$ y = -x^2 + x + 2 $
D.$ y = x^2 - x - 2 $ 或 $ y = -x^2 + x + 2 $

答案： D

15. (★★) 直线 $ y = x - 2 $ 与抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 相交于 $ A(2, m) $,$ B(n, 3) $ 两点,抛物线的对称轴是直线 $ x = 3 $,求抛物线的解析式。

答案： 答：
1.将$A(2,m)$代入$y = x - 2$得：
$m=2 - 2=0$。
将$B(n,3)$代入$y = x - 2$得：
$3=n - 2$，即$n = 5$。
所以$A(2,0)$，$B(5,3)$。
2.设抛物线解析式为$y = a(x - 3)^{2}+k$，
把$A(2,0)$，$B(5,3)$代入可得：
$\begin{cases}a(2 - 3)^{2}+k=0\\a(5 - 3)^{2}+k=3\end{cases}$
即$\begin{cases}a + k=0\\4a + k=3\end{cases}$
3.用$4a + k=3$减去$a + k=0$得：
$3a=3$，解得$a = 1$。
把$a = 1$代入$a + k=0$得$k=-1$。
4.所以抛物线解析式为$y=(x - 3)^{2}-1$，展开得$y=x^{2}-6x + 8$。
故抛物线的解析式为$y = x^{2}-6x + 8$。

16. (★) 与抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 $ 的形状、开口方向都相同,只有位置不同的抛物线是 【B】
A.$ y = x^2 + 3x - 5 $
B.$ y = -\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{2}x $
C.$ y = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 $
D.$ y = \frac{1}{2}x^2 $

答案： B

17. (★★) $ A(2, y_1) $,$ B(3, y_2) $ 是二次函数 $ y = x^2 - 2x + 1 $ 图象上的两点,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系为 $ y_1 \hspace{1em} $＜$ y_2 $。

答案： $ ＜$

18. (★★) 图 22 - 5 为抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象,点 $ A $,$ B $,$ C $ 为抛物线与坐标轴的交点,且 $ OA = OC = 1 $,则下列关系正确的是 【B】

A.$ a + b = -1 $
B.$ a - b = -1 $
C.$ b ＜ 2a $
D.$ ac ＜ 0 $

答案： B