《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

14. (★★★) 为预防流感,某校对教室进行药熏消毒. 已知药物燃烧阶段,教室内每立方米空气中的含药量 $ y(mg) $ 与燃烧时间 $ x(min) $ 成正比例；燃烧后,$ y $ 与 $ x $ 成反比例(如图 26.2 - 11 所示). 现测得药物 $ 10 \, min $ 燃完,此时教室内每立方米空气含药量为 $ 8 \, mg $. 据以上信息解答下列问题：
(1) 求药物燃烧时 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系表达式.
(2) 求药物燃烧后 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系表达式.
(3) 当每立方米空气中含药量低于 $ 1.6 \, mg $ 时,对人体才无毒害作用,那么从消毒开始,经过多长时间学生才可以回教室？

答案：
(1) 设药物燃烧时 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = k_1x$。
由题意知，当 $x = 10$ 时，$y = 8$，代入得：
$8 = 10k_1$，
解得：
$k_1 = \frac{4}{5}$，
所以药物燃烧时函数关系式为：
$y = \frac{4}{5}x$。
(2) 设药物燃烧后 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = \frac{k_2}{x}$。
由题意知，当 $x = 10$ 时，$y = 8$，代入得：
$8 = \frac{k_2}{10}$，
解得：
$k_2 = 80$，
所以药物燃烧后函数关系式为：
$y = \frac{80}{x}$。
(3) 要求每立方米空气中含药量低于 $1.6 \, mg$，即：
$\frac{80}{x} ＜ 1.6$，
解不等式得：
$x ＞ 50$，
所以从消毒开始，经过 $50 \, min$ 学生才可以回教室。

15. (★★) (2022·台州) 如图 26.2 - 12,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高 $ y $(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)$ x $(单位：cm)的反比例函数,当 $ x = 6 $ 时,$ y = 2 $.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式.
(2) 若火焰的像高为 $ 3 \, cm $,求小孔到蜡烛的距离.

答案：
(1) 设 $ y $ 关于 $ x $ 的反比例函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $，
由题意，当 $ x = 6 $ 时，$ y = 2 $，
代入解析式得：
$2 = \frac{k}{6} $，
解得：
$ k = 12 $，
所以 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为：
$y = \frac{12}{x} $。
(2) 当火焰的像高为 $ 3 \, cm $ 时，即 $ y = 3 $，
代入解析式 $ y = \frac{12}{x} $ 得：
$3 = \frac{12}{x} $，
解得：
$ x = 4 $，
所以小孔到蜡烛的距离为 $ 4 \, cm $。

16. (★★★) (2021·台州) 电子体重秤读数直观又便于携带,为人们带来了方便. 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻 $ R_{1} $,$ R_{1} $ 与踏板上人的质量 $ m $(千克)之间的函数关系式为 $ R_{1} = km + b $(其中 $ k $,$ b $ 为常数,$ 0 \leq m \leq 120 $),其图象如图 26.2 - 13①所示；图 26.2 - 13②所示的电路中,电源电压恒为 $ 8 $ 伏,定值电阻 $ R_{0} $ 的阻值为 $ 30 $ 欧,接通开关,人站上踏板电压表显示的读数为 $ U_{0} $,该读数可以换算为人的质量 $ m $.(温馨提示：①导体两端的电压 $ U $,导体的电阻 $ R $,通过导体的电流 $ I = \frac{U}{R} $；②串联电路中电流处处相等,各电阻两端的电压之和等于总电压)

(1) 求 $ k $,$ b $ 的值；
(2) 求 $ R_{1} $ 关于 $ U_{0} $ 的函数解析式；
(3) 用含 $ U_{0} $ 的代数式表示 $ m $；
(4) 若电压表量程为 $ 0 ~ 6 $ 伏,为保护电压表,请确定该电子体重秤可称的最大质量.

答案：
(1)由图象可知，当$m=0$时，$R_1=240$欧；当$m=120$时，$R_1=0$欧（实际为最小值，此处按题目给定），
将这两个点代入$R_1=km+b$，得到方程组：
$\begin{cases}240=k×0+b,\\0=k×120+b.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=-2,\\b=240.\end{cases}$
所以$k=-2,b=240$。
(2)由题意，电路中的电流为：
$I=\frac{U}{R_1+R_0}=\frac{8}{R_1+30}$，
电压表显示的读数为：
$U_0=IR_0=\frac{8}{R_1+30}×30$，
整理得：
$R_1=\frac{240-30U_0}{U_0}×\frac{1}{1}(化简比例式)=\frac{240}{U_0}-30×\frac{1}{1}(提取公因数)= \frac{240 - 30U_0×\frac{1}{3}×3}{U_0}(此步为展示思路，实际直接化简)= \frac{240}{U_0} - 30$（$U_0\neq0$），
即$R_1$关于$U_0$的函数解析式为$R_1=\frac{240}{U_0}-30$。
(3)由
(1)知$R_1=-2m+240$，由
(2)知$R_1=\frac{240}{U_0}-30$，
将$R_1$的表达式相等，得：
$-2m+240=\frac{240}{U_0}-30$，
整理得：
$m=135-\frac{120}{U_0}$。
(4)电压表量程为$0\sim6$伏，即$U_0$的最大值为6伏，
将$U_0=6$代入$m=135-\frac{120}{U_0}$，得：
$m=135-\frac{120}{6}=115$（千克），
由于$0\leq m\leq120$，且$m$随$U_0$的增大而增大，
所以当$U_0=6$伏时，$m$取得最大值115千克（在量程范围内）。
该电子体重秤可称的最大质量为115千克。