《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

29. (★★★) (2022·温州) 根据以下素材,探索完成任务。

答案： 任务1
以抛物线拱顶为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，顶点坐标为$(0,5)$，水面与桥拱交点为$(\pm10,0)$。设抛物线方程为$y=ax^2+5$，将$(10,0)$代入得：
$0=a\cdot10^2+5\Rightarrow a=-0.05$。
故抛物线表达式为$y=-0.05x^2+5$。
任务2
最高水位为原水面上涨1.8m，即$y=1.8$。灯笼长0.4m，底部距水面不小于1m，故悬挂点纵坐标$y$需满足：
$y - 0.4 \geq 1.8 + 1\Rightarrow y\geq3.2$。
令$y=3.2$，代入抛物线方程：$3.2=-0.05x^2+5\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=\pm6$。
因此，悬挂点纵坐标最小值为$3.2$，横坐标取值范围为$[-6,6]$。
任务3
设灯笼数量为$m$，相邻间距1.6m，对称分布。设最左横坐标为$x_1$，最右为$x_m=-x_1$，则$x_m=x_1+(m-1)\cdot1.6$，即$-x_1=x_1+(m-1)\cdot1.6\Rightarrow x_1=-0.8(m-1)$。
由$|x_1|\leq6$，得$0.8(m-1)\leq6\Rightarrow m\leq8.5$，取$m=8$。此时$x_1=-0.8×7=-5.6$，满足$-5.6\in[-6,6]$。
灯笼数量为8盏，最左边悬挂点横坐标为$-5.6$m。
答案
任务1：$y=-0.05x^2+5$；
任务2：纵坐标最小值3.2，横坐标范围$[-6,6]$；
任务3：8盏，最左边横坐标$-5.6$m。