《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

20. ($★★$)($2022·$河南)如图$23 - 18$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC = 2\sqrt{2}$,点$D为AB$的中点,点$P在AC$上,且$CP = 1$,将$CP绕点C$在平面内旋转,点$P的对应点为点Q$,连接$AQ$,$DQ$.当$\angle ADQ = 90^{\circ}$时,$AQ$的长为√5或√13.

答案： √5或√13

21. ($★★$)($2022·$广元)在$Rt\triangle ABC$中,$AC = BC$,将线段$CA绕点C旋转\alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ})$,得到线段$CD$,连接$AD$,$BD$.
(1)如图$23 - 19$①,将线段$CA绕点C逆时针旋转\alpha$,则$\angle ADB$的度数为______135°.

答案：
(1) 135°
(2)①补全图形（略）。
∵AC=BC，∠ACB=90°，CA绕点C顺时针旋转α得CD，
∴CD=CA=BC，∠ACD=α，∠BCD=90°+α。
△BCD中，∠CBD=∠CDB=(180°-(90°+α))/2=(90°-α)/2。
△ACD中，∠CAD=∠CDA=(180°-α)/2=90°-α/2。
∠DAB=∠CAB+∠CAD=45°+90°-α/2=135°-α/2，∠ABD=∠CBA-∠CBD=45°-(90°-α)/2=α/2。
△ABD中，∠ADB=180°-(135°-α/2)-α/2=45°。
②AD+BE=√2 CE。
证明：
∵CE平分∠BCD，BC=CD，
∴△BCE≌△DCE(SAS)，BE=DE，∠CEB=∠CED=45°。
延长EB至G，使BG=AD，连CG。
∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，BG=AD，
∴△CGB≌△CDA(SAS)，CG=CD=CE，∠BCG=∠ACD=α。
∠ECG=∠ECB-∠BCG=(90°+α)/2 - α=(90°-α)/2，∠CEG=45°，
∴△CEG为等腰直角三角形，EG=√2 CE。
∵EG=EB+BG=EB+AD，
∴AD+BE=√2 CE。