《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

16. (★★) 如图 27.2 - 62,$ M $ 是 $ \triangle ABC $ 内一点,过点 $ M $ 分别作直线平行于 $ \triangle ABC $ 的各边,所形成的三个小三角形 $ \triangle_1 $,$ \triangle_2 $,$ \triangle_3 $(图中阴影部分)的面积分别是 4,9 和 49,则 $ \triangle ABC $ 的面积是144。

答案： 144

17. (★★) 如图 27.2 - 63,$ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆,圆心 $ O $ 在 $ AB $ 上,过点 $ B $ 作 $ \odot O $ 的切线交 $ AC $ 的延长线于点 $ D $。
(1) 求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle BDC $；
(2) 若 $ AC = 8 $,$ BC = 6 $,求 $ \triangle BDC $ 的面积。

答案：
(1)
证明：
因为$BD$是$\odot O$的切线，所以$\angle CBD = \angle A$（弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）。
又因为$\angle CDB=\angle BCA$（公共角），
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\sim\triangle BDC$。
(2)
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
已知$AC = 8$，$BC = 6$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$。
由$\triangle ABC\sim\triangle BDC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且$\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{BC}{AC}\right)^{2}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×6 = 24$。
$\frac{S_{\triangle BDC}}{24}=\left(\frac{6}{8}\right)^{2}=\frac{9}{16}$，则$S_{\triangle BDC}=\frac{24×9}{16}=\frac{27}{2}$。
综上，答案依次为：
(1)证明过程如上述；
(2)$\frac{27}{2}$。

18. (★★)(2023·安徽) 如图 27.2 - 64,点 $ E $ 在正方形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $ 上,$ EF \perp AB $ 于点 $ F $,连接 $ DE $ 并延长,交边 $ BC $ 于点 $ M $,交边 $ AB $ 的延长线于点 $ G $。若 $ AF = 2 $,$ FB = 1 $,则 $ MG $ 等于【B】

A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ \dfrac{3\sqrt{5}}{2} $
C.$ \sqrt{5} + 1 $
D.$ \sqrt{10} $

答案： B

19. (★★★)(2022·遂宁) 如图 27.2 - 65,$ D $,$ E $,$ F $ 分别是 $ \triangle ABC $ 三边上的点,其中 $ BC = 8 $,$ BC $ 边上的高为 6,且 $ DE // BC $,则 $ \triangle DEF $ 面积的最大值为【A】

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： A