《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

18. (★★★)三国魏人刘徽,自撰《海岛算经》,专论测高望远。其中有一题是数学史上有名的测量问题。今译如下：如图 27 - 15,要测量海岛上一座山峰 $ A $ 的高度 $ AH $,立两根高三丈的标杆 $ BC $ 和 $ DE $,两杆相距 $ BD = 1000 $ 步,点 $ D $,$ B $,$ H $ 成一线,从 $ BC $ 退行 $ 123 $ 步到点 $ F $,人目着地观察点 $ A $,$ A $,$ C $,$ F $ 三点共线；从 $ DE $ 退行 $ 127 $ 步到点 $ G $,从点 $ G $(人目着地)看点 $ A $,$ A $,$ E $,$ G $ 三点也共线。试算出山峰的高度 $ AH $ 及 $ HB $ 的距离。(古制 $ 1 $ 步 $ = 6 $ 尺,$ 1 $ 里 $ = 180 $ 丈 $ = 1800 $ 尺 $ = 300 $ 步。结果用步来表示)
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答案： 设HB=x步，AH=h步。标杆高3丈=30尺=5步（1步=6尺）。
∵AH⊥HF，BC⊥HF，
∴∠AHF=∠CBF=90°，又∠AFH=∠CFB，
∴△AFH∽△CFB。
∴AH/BC=HF/BF，即h/5=(x+123)/123①。
∵AH⊥HG，DE⊥HG，
∴∠AHG=∠EDG=90°，又∠AGH=∠EGD，
∴△AGH∽△EGD。
∴AH/DE=HG/DG，即h/5=(x+1000+127)/127②。
联立①②：(x+123)/123=(x+1127)/127，
127(x+123)=123(x+1127)，
127x+127×123=123x+123×1127，
4x=123×1000，x=30750。
代入①：h=5×(30750+123)/123=5×251=1255。
AH=1255步，HB=30750步。

19. (★★★)如图 27 - 16,在 $ Rt△ABC $ 中,$ ∠ACB = 90° $,$ AC = 5 cm $,$ ∠BAC = 60° $,动点 $ M $ 从点 $ B $ 出发,在 $ BA $ 边上以每秒 $ 2 cm $ 的速度向点 $ A $ 匀速运动,同时动点 $ N $ 从点 $ C $ 出发,在 $ CB $ 边上以每秒 $ \sqrt{3} cm $ 的速度向点 $ B $ 匀速运动,设运动时间为 $ t(0 ≤ t ≤ 5) $ 秒,连接 $ MN $。
(1) 若 $ BM = BN $,求 $ t $ 的值。
(2) 若 $ △MBN $ 与 $ △ABC $ 相似,求 $ t $ 的值。
(3) 当 $ t $ 为何值时,四边形 $ ACNM $ 的面积最小？求出最小值。
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答案：
(1) 10√3 -15；
(2) 5/2或15/7；
(3) t=5/2，最小值75√3/8 cm²。