《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

21. (★★)(2021 · 河南)如图26 - 10,大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点$O$重合,边分别与坐标轴平行,反比例函数$y= \frac{k}{x}的图象与大正方形的一边交于点A(1,2)$,且经过小正方形的顶点$B$。
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求图中阴影部分的面积。

答案：
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(1,2)$，
∴将$A(1,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$。
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。
(2)
∵大正方形中心在原点，边与坐标轴平行，且点$A(1,2)$在大正方形一边上，
∴大正方形的上边界为$y=2$，下边界为$y=-2$，左边界为$x=-2$，右边界为$x=2$，
∴大正方形边长为$2 - (-2)=4$，面积为$4×4=16$。
∵小正方形中心在原点，边与坐标轴平行，其顶点$B$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$上，设小正方形顶点$B(b,b)$（第一象限），
∴将$B(b,b)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$b=\frac{2}{b}$，解得$b^2=2$（$b＞0$）。
∴小正方形边长为$2b$，面积为$(2b)^2=4b^2=4×2=8$。
∴阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$16 - 8=8$。
(1)$y=\frac{2}{x}$；
(2)$8$

22. (★★★)(2022 · 遂宁)已知一次函数$y_{1}= ax - 1$($a$为常数)与$x轴交于点A$,与反比例函数$y_{2}= \frac{6}{x}交于B$,$C$两点,点$B的横坐标为-2$。
(1)求出一次函数的解析式并在图26 - 11中画出它的图象；
(2)求出点$C$的坐标,并根据图象写出当$y_{1}＜y_{2}时对应自变量x$的取值范围；
(3)若点$B与点D$关于原点成中心对称,求出$\triangle ACD$的面积。

答案：
(1)y₁=x-1；
(2)C(3,2)，x＜-2或0＜x＜3；
(3)2。