《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

17. ($\star\star\star$)如图24-14,在$\odot O$中,$B是\odot O$上的一点,$\angle ABC = 120^{\circ}$,弦$AC = 2\sqrt{3}$,弦$BM平分\angle ABC交AC于点D$,连接$MA$,$MC$。
(1)求$\odot O$半径的长；
(2)求证：$AB + BC = BM$。
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答案：
(1)2；
(2)见上述证明。

18. ($\star\star$)(2021·临沂)如图24-15,已知在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}$,$OC与AD相交于点E$。
求证：(1)$AD// BC$；
(2)四边形$BCDE$为菱形。
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答案：
(1)设$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\alpha$，
$\because\angle DAC$是$\overset{\frown}{CD}$所对圆周角，$\therefore\angle DAC=\frac{1}{2}\alpha$，
$\because\angle BCA$是$\overset{\frown}{AB}$所对圆周角，$\therefore\angle BCA=\frac{1}{2}\alpha$，
$\therefore\angle DAC=\angle BCA$，$\therefore AD// BC$。
(2)$\because AD// BC$，即$ED// BC$，
$\because\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore BC=CD$，
$\because ED// BC$，$\therefore\angle DEC=\angle ECB$，
$\because\angle ECB=\frac{1}{2}\alpha$，$\overset{\frown}{BD}=2\alpha$，$\angle BCD=\frac{1}{2}×2\alpha=\alpha$，
$\angle DCE=\angle BCD-\angle ECB=\alpha-\frac{1}{2}\alpha=\frac{1}{2}\alpha$，
$\therefore\angle DEC=\angle DCE$，$\therefore DE=DC$，
$\because DC=BC$，$\therefore DE=BC$，
$\therefore$四边形$BCDE$是平行四边形，
又$\because BC=CD$，$\therefore$四边形$BCDE$为菱形。

1. (★) 在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 8$,$BC = 3\sqrt{5}$,点 $P$ 在边 $AB$ 上,且 $BP = 3AP$,如果 $\odot P$ 是以点 $P$ 为圆心,$PD$ 长为半径的圆,那么下列判断正确的是【C】
A.点 $B$,$C$ 均在 $\odot P$ 外
B.点 $B$ 在 $\odot P$ 外,点 $C$ 在 $\odot P$ 内
C.点 $B$ 在 $\odot P$ 内,点 $C$ 在 $\odot P$ 外
D.点 $B$,$C$ 均在 $\odot P$ 内

答案： C

2. (★) 已知 $\odot O$ 的直径是 $12$,直线 $l$ 上有一点 $P$ 到点 $O$ 的距离为 $6$,则直线 $l$ 与 $\odot O$ 的位置关系为【D】
A.相离
B.相切
C.相交
D.相切或相交

答案： D