《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

17. (★★)(2025·陕西)如图26.1-16,过原点的直线与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象交于 $ A(m,n),B(m - 6,n - 6) $ 两点,则 $ k $ 的值为9。
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答案： 9

18. (★★)(2022·玉林)如图26.1-17,点 $ A $ 在双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0) $ 上,点 $ B $ 在直线 $ l:y = mx - 2b(m ＞ 0,b ＞ 0) $ 上,$ A $ 与 $ B $ 关于 $ x $ 轴对称,直线 $ l $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $,当四边形 $ AOCB $ 是菱形时,有以下结论：① $ A(b,\sqrt{3}b) $；②当 $ b = 2 $ 时,$ k = 4\sqrt{3} $；③ $ m = \frac{\sqrt{3}}{3} $；④ $ S_{四边形AOCB} = 2b^2 $。则所有正确结论的序号是②③。
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答案： ②③

19. (★★★)(2022·天门)如图26.1-18,$ OA = OB $,$ \angle AOB = 90° $,点 $ A,B $ 分别在函数 $ y = \frac{k_1}{x}(x ＞ 0) $ 和 $ y = \frac{k_2}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,且点 $ A $ 的坐标为 $ (1,4) $。
(1)求 $ k_1,k_2 $ 的值。
(2)若点 $ C,D $ 分别在函数 $ y = \frac{k_1}{x}(x ＞ 0) $ 和 $ y = \frac{k_2}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,且不与点 $ A,B $ 重合,是否存在点 $ C,D $,使得 $ \triangle COD \cong \triangle AOB $？若存在,请直接写出点 $ C,D $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
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答案：
(1) $k_1=4$；点A(1,4)，$OA=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，证△AOE≌△OBF(AAS)，得OE=BF=1，AE=OF=4，B(4,-1)，代入$y=\frac{k_2}{x}$得$k_2=4×(-1)=-4$。
(2) 存在；C(4,1)，D(1,-4)。
(1) $k_1=4$，$k_2=-4$；
(2)存在，C(4,1)，D(1,-4)。