《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

14. (★★★)如图24.2-16,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,点C在⊙O上,CA= CD,∠D= 30°.
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为5,求点A到CD所在直线的距离.

答案：
(1)
判断直线 $CD$ 与 $\odot O$ 的位置关系：
连接 $OC$。
因为 $OA = OC$，所以 $\angle A = \angle ACO$。
又因为 $CA = CD$，$\angle D = 30^{\circ}$，所以 $\angle A = \angle D = 30^{\circ}$。
则 $\angle ACO = 30^{\circ}$，在 $\triangle ACD$ 中，$\angle ACD = 180^{\circ}-\angle A - \angle D=120^{\circ}$，所以 $\angle OCD=\angle ACD - \angle ACO = 90^{\circ}$，即 $OC\perp CD$。
因为 $OC$ 是 $\odot O$ 的半径，所以直线 $CD$ 与 $\odot O$ 相切。
(2)
求点 $A$ 到 $CD$ 所在直线的距离：
过点 $A$ 作 $AE\perp CD$ 于点 $E$。
因为 $\angle D = 30^{\circ}$，$\angle ACD = 120^{\circ}$，在 $\triangle ACD$ 中，$\angle CAD = 30^{\circ}$。
在 $Rt\triangle AED$ 中，$\angle D = 30^{\circ}$，$\odot O$ 的半径为 $5$，则 $AD=AO + OD$，$AO = 5$，$OD = 5 + 5=10$（$O$为$AB$中点，$AB = 10$），$AD = 10 + 5 = 15$（原$AB = 10$，$BD=OB = 5$，这里$AD=AB + BD$，$AB = 10$，$BD = 5$），也可根据直角三角形中$30^{\circ}$所对直角边是斜边一半，先求$AE$。
因为 $\angle D = 30^{\circ}$，在 $Rt\triangle AED$ 中，$\frac{AE}{AD}=\sin30^{\circ}$，$AD = 2× OA+BD$，$OA = 5$，$BD = 5$，$AD = 15$，$AE=\frac{1}{2}AD×\sin30^{\circ}$（更准确的是$AE = AD×\sin30^{\circ}$），$AE=\frac{15}{2}=\frac{15}{2} = 7.5$（正确计算：在$Rt\triangle AED$中，$\angle D = 30^{\circ}$，$AD=AB + BD$，$AB = 10$，$BD = 5$，$AD = 15$，$AE = AD×\sin30^{\circ}=\frac{15}{2}= 7.5$ ）。
综上：
(1) 直线 $CD$ 与 $\odot O$ 相切。
(2) 点 $A$ 到 $CD$ 所在直线的距离为 $7.5$。

15. (★★★)如图24.2-17,在△ABC中,O为AC上的一点,以点O为圆心,OC为半径的⊙O与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD= ∠BAD.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若∠BAD= 60°,AD= 6,求⊙O的半径.

答案：
(2) ⊙O的半径为2√3。

16. (★★)(2023·天津)在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为D,∠AOC= 60°,E为弦AB所对的优弧上一点.
(1)如图24.2-18①,求∠AOB和∠CEB的大小;
(2)如图24.2-18②,CE与AB相交于点F,EF= EB,过点E作⊙O的切线,与CO的延长线相交于点G,若OA= 3,求EG的长.

答案：
(1)
∵OC⊥AB，OA=OB，
∴OC平分∠AOB，∠AOC=∠BOC=60°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°。
∵∠CEB为圆周角，所对弧为弧CB，弧CB对应圆心角∠BOC=60°，
∴∠CEB=1/2∠BOC=30°。
(2)
连接OE，
∵EF=EB，
∴∠EFB=∠EBF，设∠EBF=∠EFB=x，则∠BEF=180°-2x，
∵∠BEF=∠CEB=30°，
∴180°-2x=30°，x=75°，即∠EBF=75°。
∠EBF为圆周角，对应弧AE，
∴弧AE=2×75°=150°，
∵劣弧AB=120°，C为劣弧AB中点，
∴弧AC=弧BC=60°，
优弧AB=360°-120°=240°，弧EB=优弧AB-弧AE=240°-150°=90°，
弧CE=弧CB+弧BE=60°+90°=150°，
∴圆心角∠COE=150°，
∵G在CO延长线上，
∴∠GOE=180°-150°=30°，
∵EG为切线，OE⊥EG，在Rt△OEG中，OE=3，∠GOE=30°，
∴EG=OE·tan30°=3×(√3/3)=√3。
(1)∠AOB=120°，∠CEB=30°；
(2)EG=√3。