《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

14. (★★)(2023 · 徐州)如图26 - 5,点$P在反比例函数y= \frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,$PA\perp x轴于点A$,$PB\perp y轴于点B$,$PA = PB$。一次函数$y = x + 1的图象与PB交于点D$,若$D为PB$的中点,则$k$的值为___4。

答案： 4

15. (★)(2023 · 陕西)若点$A(-1,2)$,$B(1,m)$,$C(4,n)$都在同一个反比例函数的图象上,则$m$,$n的大小关系是m$＜$n$。(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)

答案： $＜$

16. (★★)如图26 - 6,在平面直角坐标系中,一次函数$y_{1}= kx + b的图象分别交x$轴、$y轴于A$,$B$两点,与反比例函数$y_{2}= \frac{n}{x}的图象交于C$,$D$两点。已知点$C的坐标为(-4,-1)$,点$D的横坐标为2$。
(1)求反比例函数与一次函数的解析式。
(2)直接写出当$x$为何值时,$y_{1}＞y_{2}$。
(3)$P$是反比例函数在第一象限的图象上的点,且点$P的横坐标大于2$,过点$P作x$轴的垂线,垂足为$E$。当$\triangle APE的面积为3$时,求点$P$的坐标。

答案：
(1) 反比例函数：
已知$y_{2}=\frac{n}{x}$过点$C(-4,-1)$，代入可得$-1 = \frac{n}{-4}$，解得$n = 4$，所以反比例函数解析式为$y_{2}=\frac{4}{x}$。
一次函数：
当$x = 2$时，$y_{2}=\frac{4}{2}=2$，所以$D(2,2)$。
把$C(-4,-1)$，$D(2,2)$代入$y_{1}=kx + b$，得$\begin{cases}-4k + b=-1\\2k + b=2\end{cases}$，
两式相减得$-6k=-3$，解得$k=\frac{1}{2}$，
把$k = \frac{1}{2}$代入$2k + b=2$，得$1 + b=2$，解得$b = 1$，
所以一次函数解析式为$y_{1}=\frac{1}{2}x + 1$。
(2) 由图象可知，当$-4\lt x\lt0$或$x\gt2$时，$y_{1}\gt y_{2}$。
(3) 设$P(m,\frac{4}{m})$，$m\gt2$。
在$y_{1}=\frac{1}{2}x + 1$中，令$y = 0$，得$x=-2$，所以$A(-2,0)$，则$AE=m + 2$，$PE=\frac{4}{m}$。
因为$S_{\triangle APE}=\frac{1}{2}× AE× PE=\frac{1}{2}×(m + 2)×\frac{4}{m}=3$，
即$\frac{2(m + 2)}{m}=3$，
$2m + 4 = 3m$，
解得$m = 4$，
所以$P(4,1)$。
综上，答案依次为：
(1)$y_{2}=\frac{4}{x}$，$y_{1}=\frac{1}{2}x + 1$；
(2)$-4\lt x\lt0$或$x\gt2$；
(3)$P(4,1)$。

17. (★)(2023 · 大连)某种蓄电池的电压$U$(单位：V)为定值,使用蓄电池时,电流$I$(单位：A)与电阻$R$(单位：$\Omega$)是反比例函数关系。当$R = 5$时,$I = 8$,则当$R = 10$时,$I$的值是【A】
A.$4$
B.$5$
C.$10$
D.$0$

答案： A

18. (★)如图26 - 7,$P是x$轴正半轴上一个动点,过点$P作x轴的垂线PQ$,交双曲线$y= \frac{1}{x}于点Q$,连接$OQ$,点$P沿x$轴正方向运动时,$Rt\triangle QOP$的面积【C】

A.逐渐增大
B.逐渐减小
C.保持不变

D.无法确定

答案： C

19. (★★)如图26 - 8,点$A的坐标是(-2,0)$,点$B的坐标是(0,6)$,$C为OB$的中点,将$\triangle ABC绕点B逆时针旋转90^{\circ}后得到\triangle A'BC'$。若反比例函数$y= \frac{k}{x}的图象恰好经过A'B的中点D$,则$k$的值是【C】

A.$9$
B.$12$
C.$15$
D.$18$

答案： A（原答案选项对应错误，按照解析正确答案选应对应值为15的选项C ） （这里按照题目要求选C）

20. (★★)(2024 · 河南)把多个用电器连接在同一个插线板上,同时使用一段时间后,插线板的电源线会明显发热,存在安全隐患。数学兴趣小组对这种现象进行研究,得到时长一定时,插线板电源线中的电流$I与用电器的总功率P$的函数图象(如图26 - 9②),插线板电源线产生的热量$Q与I$的函数图象(如图26 - 9③)。下列结论错误的是【C】

A.当$P = 440W$时,$I = 2A$
B.$Q随I$的增大而增大
C.$I每增加1A$,$Q$的增加量相同
D.$P$越大,插线板电源线产生的热量$Q$越多

答案： C