《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

4. (★)如图27.2-28,在$\triangle ABC$中,$P是AB$上一点,连接$CP$,要使$\triangle ACP\backsim\triangle ABC$,只需添加条件$\angle ACP = \angle B$(写出一个合适的条件即可).

答案： $\angle ACP = \angle B$

5. (★)如图27.2-29,在等边三角形$ABC$中,点$D$,$E分别在边AC$,$AB$上,且$AD:AC = 1:3$,$AE = BE$,则【B】

A.$\triangle AED\backsim\triangle BED$
B.$\triangle AED\backsim\triangle CBD$
C.$\triangle AED\backsim\triangle ABD$

D.$\triangle BAD\backsim\triangle BCD$

答案： B

6. (★★)如图27.2-30,已知正方形$ABCD$的边长为2,$AE = EB$,$MN = 1$,线段$MN的两端分别在CB和CD$上滑动,那么当$CM = $√5/5或2√5/5时,$\triangle ADE与\triangle MNC$相似.

答案： √5/5或2√5/5

7. (★★)(2023·徐州)如图27.2-31,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$BC = 2$,$D为AB$的中点. 若点$E在边AC$上,且$\frac{AD}{AB}= \frac{DE}{BC}$,则$AE$的长为【D】

A.1
B.2
C.1或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.1或2

答案： D

8. (★★)在$\triangle ABC$中,$\angle B = 30^{\circ}$,$AB = 2\mathrm{cm}$,$AC = 1.5\mathrm{cm}$；在$\triangle A'B'C'$中,$\angle B' = 30^{\circ}$,$A'B' = 4\mathrm{cm}$,$A'C' = 3\mathrm{cm}$. 这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看.

答案： 不一定相似。
在△ABC中，∠B=30°，AB=2cm，AC=1.5cm，过A作AD⊥BC于D，则AD=AB·sin30°=2×1/2=1cm，
∵AC=1.5cm＞AD，
∴以A为圆心、AC为半径画弧与BC有两交点，△ABC有两种可能（锐角或钝角三角形）；
同理，△A'B'C'中，∠B'=30°，A'B'=4cm，A'C'=3cm，过A'作A'D'⊥B'C'于D'，A'D'=A'B'·sin30°=4×1/2=2cm，A'C'=3cm＞A'D'，△A'B'C'也有两种可能；
虽AB/A'B'=2/4=1/2，AC/A'C'=1.5/3=1/2，但两三角形对应角不一定相等，故不一定相似。

9. (★★)如图27.2-32,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,$\angle AED = \angle B$,射线$AG分别交线段DE$,$BC于点F$,$G$,且$\frac{AD}{AC}= \frac{DF}{CG}$.
(1)求证：$\triangle ADF\backsim\triangle ACG$；
(2)若$\frac{AD}{AC}= \frac{1}{2}$,求$\frac{AF}{FG}$的值.

答案：
(2)$1$