《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

5. (★)方程$x^{2} - 3x + 1 = 0$的根的情况是 【A】
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根

答案： A

6. (★)关于$x的一元二次方程x^{2} - 6x + 2k = 0$有两个实数根,则实数$k$的取值范围是$k \leq \frac{9}{2}$。

答案： $k \leq \frac{9}{2}$

7. (★)国家实施惠农政策后,某镇农民人均收入经过两年提高$44\%$,这两年该镇农民人均收入年平均增长率是 【B】
A.$22\%$
B.$20\%$
C.$10\%$
D.$11\%$

答案： B

8. (★★)一个矩形的周长为$56 cm$。
(1)当矩形面积为$180 cm^{2}$时,长、宽分别为多少？
(2)能围成面积为$200 cm^{2}$的矩形吗？请说明理由。

答案：
(1)设矩形的长为$x\ cm$，则宽为$(28 - x)\ cm$。
由面积为$180\ cm^2$，得$x(28 - x) = 180$，
整理得$x^2 - 28x + 180 = 0$，
因式分解得$(x - 18)(x - 10) = 0$，
解得$x_1 = 18$，$x_2 = 10$。
因长$＞$宽，故长为$18\ cm$，宽为$10\ cm$。
(2)不能。
设矩形的长为$x\ cm$，则宽为$(28 - x)\ cm$。
假设面积为$200\ cm^2$，得$x(28 - x) = 200$，
整理得$x^2 - 28x + 200 = 0$，
判别式$\Delta = (-28)^2 - 4 × 1 × 200 = 784 - 800 = -16 ＜ 0$，
方程无实数根，故不能围成面积为$200\ cm^2$的矩形。

9. (★★)经研究发现：若一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0的两个根为x_{1}$,$x_{2}$,则$ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$。例如：一元二次方程$2x^{2} + 5x + 2 = 0的两根为x_{1} = -\frac{1}{2}$,$x_{2} = -2$,则$2x^{2} + 5x + 2 = 2(x + \frac{1}{2})(x + 2) = (2x + 1)(x + 2)$。根据上述方法填空：因式分解$4x^{2} + 13x + 3 = $$(4x + 1)(x + 3)$。

答案： $(4x + 1)(x + 3)$

10. (★★)若$(x + y)(x + y - 2) - 3 = 0$,设$P = x + y$,则原方程可化为$(x + y)^{2} - 2(x + y) - 3 = 0$,即$P^{2} - 2P - 3 = 0$,解得$P_{1} = 3$,$P_{2} = -1$。故$x + y的值为3或-1$。仿照上面的方法,计算当$(a^{2} + b^{2})(a^{2} + b^{2} - 4) - 5 = 0$时,$a^{2} + b^{2}$的值为5。

答案： 5

11. (★★)已知关于$x的方程ax^{2} + 2x - 1 = 0$有实数根,求$a$的取值范围。

答案： 答题卡：
当 $a = 0$ 时，方程 $2x - 1 = 0$ 有实数根 $x = \frac{1}{2}$，符合题意。
当 $a \neq 0$ 时，方程 $ax^{2} + 2x - 1 = 0$ 是一元二次方程，根据判别式的定义，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4 \cdot a \cdot (-1) = 4 + 4a \geq 0$，
解得：$a \geq -1$ 且 $a \neq 0$。
综合以上两种情况，得出 $a$ 的取值范围是 $a \geq -1$。