《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

12. (★★)如图$21 - 1$,一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为$12 m$的住房墙,另外三边用$25 m$长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个$1 m$宽的门。所围矩形鸡舍的长、宽分别为多少时,鸡舍面积为$80 m^{2}$？
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答案： 长为$10m$，宽为$8m$。

13. (★)下列命题正确的是 【C】
A.$x^{2} - 6x = 0$不是一元二次方程
B.把一元二次方程$(2x - 1)^{2} = 3x - 7化成一般形式为(2x - 1)^{2} - 3x - 7 = 0$
C.$x^{2} = 5的两个根是\sqrt{5}和-\sqrt{5}$
D.$2x^{2} - 1 = 0$不是一元二次方程

答案： C

14. (★★)(2023·绵阳)若$x = 3是关于x的一元二次方程x^{2} - \frac{5}{3}ax - a^{2} = 0(a ＞ 0)$的一个根,则下列对$a$的值估计正确的是 【B】
A.$\frac{1}{2} ＜ a ＜ 1$
B.$1 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2} ＜ a ＜ 2$
D.$2 ＜ a ＜ \frac{5}{2}$

答案： B

15. (★★)若一元二次方程$x^{2} - (a + 2)x + 2a = 0的两个实数根分别是3$,$b$,则$a + b = $5。

答案： 5

16. (★★)写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：$x^2 - 1 = 0$。

答案： $x^2 - 1 = 0$

17. (★)用配方法解方程$x^{2} + 6x + 6 = 0$时,配方后的结果为 【C】
A.$(x + 6)^{2} = 3$
B.$(x + 3)^{2} = 0$
C.$(x + 3)^{2} = 3$
D.$(x + 3)^{2} = -3$

答案： C

18. (★★)用适当的方法解下列方程：
(1)$3x^{2} - 1 = 4x$；
(2)$x^{2} - 2x - 8 = 0$；
(3)$2(x - 1)^{2} - 16 = 0$；
(4)$(x - 3)^{2} + 2x(x - 3) = 0$；
(5)$x^{2} + 2\sqrt{2}x + 4 = 2$；
(6)$t^{2} - \sqrt{5}t - 5 = 0$。

答案：
(1)
原方程 $3x^{2} - 1 = 4x$ 可化为 $3x^{2} - 4x - 1 = 0$。
$a=3,b=-4,c=-1$，
$x=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4×3×(-1)}}{2×3}=\frac{4\pm\sqrt{16+12}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}$，
$x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$，$x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$。
(2)
原方程 $x^{2} - 2x - 8 = 0$ 可因式分解为 $(x - 4)(x + 2) = 0$。
解得 $x_1 = 4$，$x_2 = -2$。
(3)
原方程 $2(x - 1)^{2} - 16 = 0$ 可化为 $(x - 1)^{2} = 8$。
解得$x - 1 = \pm 2\sqrt{2}$，
即 $x_1 = 1 + 2\sqrt{2}$，$x_2 = 1 - 2\sqrt{2}$。
(4)
原方程 $(x - 3)^{2} + 2x(x - 3) = 0$ 可提取公因式 $x - 3$，得 $(x - 3)(x - 3 + 2x) = 0$，即 $(x - 3)(3x - 3) = 0$。
解得 $x_1 = 3$，$x_2 = 1$。
(5)
原方程 $x^{2} + 2\sqrt{2}x + 4 = 2$ 可化为 $x^{2} + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$，即 $(x + \sqrt{2})^{2} = 0$。
解得 $x_1 = x_2 = -\sqrt{2}$。
(6)
原方程 $t^{2} - \sqrt{5}t - 5 = 0$，
$a=1,b=-\sqrt{5},c=-5$，
$t=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{(-\sqrt{5})^2-4×1×(-5)}}{2×1}=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{5+20}}{2}=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{\sqrt{5}\pm5}{2}$，
即 $t_1 = \frac{\sqrt{5} + 5}{2}$，$t_2 = \frac{\sqrt{5} - 5}{2}$。