《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

5. ($★★$)如图22.3 - 12,小明在一次高尔夫球争霸赛中,从山坡下$O点打出一球向球洞A$点飞去,球的飞行路线为抛物线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大竖直高度$12m$时,球移动的水平距离为$9m$。已知山坡$OA与水平方向OC的夹角为30^{\circ}$,$O$,$A两点相距8\sqrt{3}m$。
(1)求点$A的坐标及直线OA$的解析式；
(2)求球的飞行路线所在抛物线的解析式；
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从$O点直接打入球洞A$点。

答案： （1）A(12, 4√3)，y=(√3/3)x；（2）y=-4/27x²+8/3x；（3）不能。

6. ($★★$)(2023·温州)一次足球训练中,小明从球门正前方$8m的A$处射门,球射向球门的路线成抛物线。当球飞行的水平距离为$6m$时,球达到最高点,此时球离地面$3m$。已知球门高$OB为2.44m$,现以$O$为原点建立如图22.3 - 13所示的平面直角坐标系。
(1)求抛物线的函数表达式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
(2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带

球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点$O正上方2.25m$处？

答案：
(1) 由题意，抛物线顶点坐标为(2, 3)，设表达式为$y=a(x-2)^2+3$。
∵抛物线过点$A(8, 0)$，代入得：
$0=a(8-2)^2+3$，解得$a=-\frac{1}{12}$。
∴抛物线表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。
当$x=0$时，$y=-\frac{1}{12}(0-2)^2+3=-\frac{1}{3}+3=\frac{8}{3}\approx2.667$。
∵$\frac{8}{3}＞2.44$，
∴球不能射进球门。
(2) 设移动$m$米后，射门点为$(8+m, 0)$，抛物线表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-h)^2+3$（$a=-\frac{1}{12}$，$k=3$不变）。
∵经过点$(0, 2.25)$，代入得：
$2.25=-\frac{1}{12}(0-h)^2+3$，解得$h^2=9$，$h=3$（$h=-3$舍去）。
∴抛物线为$y=-\frac{1}{12}(x-3)^2+3$。
∵过射门点$(8+m, 0)$，代入得：
$0=-\frac{1}{12}(8+m-3)^2+3$，解得$8+m-3=6$（负值舍去），$m=1$。
(1) 抛物线表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$，不能射进球门；
(2) 1米。

7. ($★★$)有一座抛物线形拱桥,桥下的正常水位$AB宽为20m$,水位上升$3m就达到警戒线CD$,这时水面宽度为$10m$。
(1)在如图22.3 - 14所示的坐标系中,求抛物线的解析式。
(2)在(1)的结论下,若洪水到来时,水位以平均每小时$0.2m$的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到桥拱顶？

答案：
(1)设抛物线解析式为$y = ax^2$（顶点在原点，对称轴为$y$轴）。
正常水位$AB$宽$20m$，则$A(-10, y_1)$，$B(10, y_1)$，代入得$y_1 = a \cdot 10^2 = 100a$。
警戒线$CD$宽$10m$，水位上升$3m$，则$C(-5, y_2)$，$D(5, y_2)$，且$y_2 = y_1 + 3$，代入得$y_2 = a \cdot 5^2 = 25a$。
由$25a = 100a + 3$，解得$a = -\frac{1}{25}$。
故抛物线解析式为$y = -\frac{1}{25}x^2$。
(2)警戒线时，$x = \pm5$，代入解析式得$y = -\frac{1}{25} × 5^2 = -1$。
桥拱顶为原点$(0,0)$，水位需上升高度为$0 - (-1) = 1m$。
时间$t = \frac{1}{0.2} = 5$小时。
(1)$y = -\frac{1}{25}x^2$；
(2)$5$小时。