《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版》

14. (★★)已知函数$y= (n + 2)x^{n^{2}+n - 4}是关于x$的二次函数.
(1)求满足条件的$n$的值.
(2)$n$为何值时,抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标.
(3)$n$为何值时,函数有最大值？最大值是多少？

答案：
(1)
根据二次函数定义，$y = (n + 2)x^{n^{2}+n - 4}$是关于$x$的二次函数，则$\begin{cases}n^{2}+n - 4 = 2\\n + 2\neq 0\end{cases}$
由$n^{2}+n - 4 = 2$，即$n^{2}+n - 6 = 0$，因式分解得$(n + 3)(n - 2)=0$，解得$n = 2$或$n = - 3$。
当$n = 2$或$n = - 3$时，$n + 2\neq 0$都成立。
所以$n$的值为$2$或$-3$。
(2)
抛物线有最低点时，二次函数开口向上，即$n + 2\gt 0$，所以$n = 2$。
此时二次函数为$y = 4x^{2}$，根据$y = ax^{2}(a\gt0)$的顶点坐标为$(0,0)$，所以最低点坐标为$(0,0)$。
(3)
函数有最大值时，二次函数开口向下，即$n + 2\lt 0$，所以$n = - 3$。
此时二次函数为$y=-x^{2}$，根据$y = ax^{2}(a\lt0)$的最大值为$0$，所以最大值是$0$。
综上，答案依次为：
(1)$n = 2$或$n = - 3$；
(2)$n = 2$，最低点坐标为$(0,0)$；
(3)$n = - 3$，最大值是$0$。

15. (★)(2022·牡丹江)若二次函数$y = ax^{2}$的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点【A】
A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$

答案： A

16. (★★)(2021·长春)如图22. 1 - 5,在平面直角坐标系中,点$A(2,4)在抛物线y = ax^{2}$上,过点$A作y$轴的垂线,交抛物线于另一点$B$,点$C$,$D在线段AB$上,分别过点$C$,$D作x$轴的垂线,交抛物线于$E$,$F$两点.当四边形$CDFE$为正方形时,线段$CD$的长为$2\sqrt{5}-2$.

答案： $2\sqrt{5}-2$

1. (★)抛物线$y = ax^{2}+k$有如下特点:
(1)当$a＞0$时,开口向上;当$a＜0$时,开口向下.(2)对称轴是$y$轴（或直线$x=0$）.(3)顶点坐标是$(0,k)$.

答案：
(1)上；下；
(2)$y$轴（或直线$x=0$）；
(3)$(0,k)$

2. (★)抛物线$y = 3x^{2}-2$的开口向上,顶点坐标是(0,-2),对称轴是y轴.

答案： 上；(0,-2)；y轴

3. (★)若抛物线$y = ax^{2}+1与y = x^{2}$的开口方向、形状相同,则$a$的值为1.

答案： 1（或写为$a=1$的对应选项，如果为填空题则直接填1）

4. (★)在平面直角坐标系中,将二次函数$y = 2x^{2}$的图象向上平移2个单位长度,所得图象的解析式为【B】
A.$y = 2x^{2}-2$
B.$y = 2x^{2}+2$
C.$y = 2(x - 2)^{2}$
D.$y = 2(x + 2)^{2}$

答案： B