《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

6. 下面是用配方法解关于$x$的一元二次方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$的具体过程.
解：第一步，$x^2 + \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$；
第二步，$x^2 + \dfrac{2}{3}x = \dfrac{1}{3}$；
第三步，$x^2 + \dfrac{2}{3}x + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2$；
第四步，$\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$，
$\therefore x + \dfrac{1}{3} = \pm \dfrac{2}{3}$.
$\therefore x_1 = \dfrac{1}{3}$，$x_2 = -1$.
以下四条语句与上面四步对应：“① 移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；② 求解：用直接开平方法解一元二次方程；③ 配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④ 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数”. 第一步、第二步、第三步、第四步应对应的语句分别是 ______.

答案： ④①③②
第一步：方程两边除以3（二次项系数），对应④
第二步：移项，对应①
第三步：配方，加一次项系数一半的平方，对应③
第四步：直接开平方求解，对应②
故顺序为④①③②

7. 用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x - 2025 = 0$时，将它转化为$(x + a)^2 = b$的形式，则$a^b$的值为 ______.

答案： 1
$x^2 - 2x = 2025$
$x^2 - 2x + 1 = 2025 + 1$
$(x - 1)^2 = 2026$
$\therefore a = -1$，$b = 2026$
$a^b = (-1)^{2026} = 1$

8. 用配方法解方程：
（1）$x^2 - 7x + 12 = 0$；
（2）$2x^2 - 4x - 16 = 0$；
（3）$5x^2 - 3x + 5 = x^2 + 5x$；
（4）$(x + 1)(2x - 3) = 1$.

答案： （1）$x_1 = 3$，$x_2 = 4$；（2）$x_1 = 4$，$x_2 = -2$；（3）无实数根；（4）$x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{4}$，$x_2 = \dfrac{1 - \sqrt{33}}{4}$
（1）$x^2 - 7x = -12$
$x^2 - 7x + \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 = -12 + \dfrac{49}{4}$
$\left(x - \dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$
$x - \dfrac{7}{2} = \pm \dfrac{1}{2}$
$x = \dfrac{7}{2} \pm \dfrac{1}{2}$，$x_1 = 3$，$x_2 = 4$
（2）化简得$x^2 - 2x - 8 = 0$
$x^2 - 2x = 8$
$(x - 1)^2 = 9$
$x - 1 = \pm 3$，$x_1 = 4$，$x_2 = -2$
（3）移项得$4x^2 - 8x + 5 = 0$
$x^2 - 2x = -\dfrac{5}{4}$
$(x - 1)^2 = -\dfrac{5}{4} + 1 = -\dfrac{1}{4} ＜ 0$，无实数根
（4）展开得$2x^2 - 3x + 2x - 3 = 1$，$2x^2 - x - 4 = 0$
$x^2 - \dfrac{1}{2}x = 2$
$x^2 - \dfrac{1}{2}x + \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = 2 + \dfrac{1}{16}$
$\left(x - \dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{33}{16}$
$x = \dfrac{1}{4} \pm \dfrac{\sqrt{33}}{4}$