《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

23. 综合与实践课上，王老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动.
（1）问题情境
如图（1），在△ABC中，BA=BC，点E在边AC上，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转至BE'的位置，使得∠ABC+∠EBE'=180°. 连接AE'，取AE'的中点D，连接BD.
（2）问题探究
BD和EC之间满足怎样的数量关系？
①“勤奋”小组的思路如下. 如图（2），延长BD至点F，使得DF=BD，连接AF. 通过证明△ADF≌______，△ABF≌______，进而求出BD和EC之间的数量关系.
②“善思”小组的思路如下. 如图（3），延长AB至点F，使得BF=AB，连接EF，利用三角形全等的知识可推理出BD和EC之间的数量关系. 请根据“善思”小组的思路完成证明过程.
（3）拓展应用
③在图（3）中，若∠BAC=60°，AB=6，BE=√31，则C，D两点之间的距离为______.

答案： ①△CDE'，△CBE'；②BD=1/2EC；③5
解析：①△ADF≌△E'DB（SAS），△ABF≌△CBE'（SAS），得BF=EC，BD=1/2BF=1/2EC。②延长AB至F使BF=AB，BA=BC=BF，∠ABC+∠EBE'=180°，∠FBE'=∠CBE，△FBE'≌△CBE(SAS)，E'F=EC，D为AE'中点，BD=1/2E'F=1/2EC。③∠BAC=60°，AB=BC=6，△ABC为等边三角形，AC=6，设EC=2BD=2x，AE=6-2x，BE=√31，在△ABE中，BE²=AB²+AE²-2AB·AE·cos60°，31=36+(6-2x)²-6(6-2x)，解得x=5/2，EC=5，D为AE'中点，CD=5。