《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

8. 下面是小明同学解方程的过程，请你认真阅读并解答问题．
解方程：$4(2y - 5)^{2}=9(3y - 1)^{2}$．
解：$4(2y - 5)^{2}-9(3y - 1)^{2}=0$，……………………………………（第一步）
$[(4y - 10)+(9y - 3)][(4y - 10)-(9y - 3)]=0$，……………………（第二步）
$(13y - 13)(5y - 7)=0$，…………………………………………（第三步）
$13y - 13=0$或$5y - 7=0$，…………………………………………（第四步）
解得$y_{1}=1$，$y_{2}=\frac{7}{5}$．……………………………………………（第五步）
（1）在上述解方程的过程中，小明是采用__________来解方程的（横线上填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）．
（2）第______步开始出现错误，错误的原因是____________________．
（3）请求出本题的正确结果．

答案： （1）因式分解法；（2）二，$(4y - 10)-(9y - 3)$去括号后应为$-5y - 7$；（3）$y_{1}=1$，$y_{2}=-\frac{7}{5}$
解析：（1）小明利用平方差公式分解因式，故采用因式分解法。
（2）第二步中$(4y - 10)-(9y - 3)=4y - 10 - 9y + 3=-5y - 7$，小明写成$5y - 7$，符号错误。
（3）正确分解为$(13y - 13)(-5y - 7)=0$，解得$13y - 13=0$或$-5y - 7=0$，即$y=1$或$y=-\frac{7}{5}$。

9. 等腰三角形的底边长和腰长分别是方程$(x - 3)(x - 7)=0$的两个根，则这个等腰三角形的周长为__________.

答案： 17
解析：方程根为3和7。若腰=3，底=7，$3 + 3=6＜7$（舍去）；若腰=7，底=3，周长=7 + 7 + 3=17。

10. 对于实数$a,b$，定义运算“$\odot$”如下：$a\odot b=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$．若$(m + 2)\odot(m - 3)=24$，则$m=$__________.

答案： 4或$-3$
解析：$a\odot b=(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$，则$4(m + 2)(m - 3)=24$，$(m + 2)(m - 3)=6$，$m^{2}-m - 12=0$，$(m - 4)(m + 3)=0$，解得$m=4$或$m=-3$。

11. （1）问题背景
我们知道，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的几种基本方法，利用这几种方法可以将一元二次方程降次转化为一元一次方程，我们还可以用换元法来解某些高次方程．如：解方程$x^{4}-x^{2}-6=0$①，可以将$x^{2}$看成是一个整体，然后设$x^{2}=y$，则$x^{4}=y^{2}$，原方程化为$y^{2}-y - 6=0$②，解得$y_{1}=3$，$y_{2}=-2$．当$y=3$时，$x^{2}=3$，所以$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$；当$y=-2$时，$x^{2}=-2$，此方程无实数解，所以原方程的解为$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$．
（2）解决问题
①上面的解法中，由方程①得到方程②，实质上是利用换元法达到________的目的

答案： 降次