《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

2. 在平面直角坐标系中，点$ P(-3,-5) $关于原点对称的点的坐标是（ ）.
A. $ (3,-5) $
B. $ (-3,5) $
C. $ (3,5) $
D. $ (-3,-5) $

答案： C
关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，故对称点坐标为$ (3,5) $，选C.

3. 已知点$ P\left(a+1,-\frac{a}{2}+1\right) $关于原点的对称点在第四象限，则$ a $的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）.

答案： C
对称点坐标为$ \left(-(a+1),\frac{a}{2}-1\right) $. 第四象限需$ -(a+1)＞0 $且$ \frac{a}{2}-1＜0 $，解得$ a＜-1 $，数轴表示为C选项.

4. 如图，将$ \triangle ABC $绕点$ C $顺时针旋转$ 90^\circ $得到$ \triangle EDC $. 若点$ A $，$ D $，$ E $在同一条直线上，$ \angle ACB=20^\circ $，则$ \angle ADC= $（ ）.
A. $ 55^\circ $
B. $ 60^\circ $
C. $ 65^\circ $
D. $ 70^\circ $

答案： C
旋转后$ AC=EC $，$ \angle ACE=90^\circ $，$ \angle CAE=45^\circ $. $ \angle ACD=\angle ACE-\angle ECD=90^\circ -20^\circ =70^\circ $. 在$ \triangle ADC $中，$ \angle ADC=180^\circ -45^\circ -70^\circ =65^\circ $，故选C.

5. 如图，在平面直角坐标系$ xOy $中，菱形$ OABC $的边长为2，点$ A $在第一象限，点$ C $在$ x $轴正半轴上，$ \angle AOC=60^\circ $，若将菱形$ OABC $绕点$ O $顺时针旋转$ 75^\circ $，得到四边形$ OA'B'C' $，则点$ B $的对应点$ B' $的坐标为______.

答案： $ (\sqrt{6},-\sqrt{6}) $
$ A(1,\sqrt{3}) $，$ C(2,0) $，$ B(3,\sqrt{3}) $. $ OB=2\sqrt{3} $，极角$ 30^\circ $，顺时针旋转$ 75^\circ $后极角$ -45^\circ $，坐标$ (2\sqrt{3}\cos(-45^\circ),2\sqrt{3}\sin(-45^\circ))=(\sqrt{6},-\sqrt{6}) $.

6. 如图，$ A(-1,5) $，$ B(3,3) $，$ C(5,3) $，$ D(3,-1) $. 发现：线段$ AB $与线段$ CD $存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则旋转中心的坐标是______.

答案： $ (1,1) $
设中心$ (x,y) $，由$ (x+1)^2+(y-5)^2=(x-5)^2+(y-3)^2 $和$ (x-3)^2+(y-3)^2=(x-3)^2+(y+1)^2 $，解得$ x=1 $，$ y=1 $.

7. 如图，在$ Rt\triangle ABC $中，$ \angle ACB=90^\circ $，$ \angle ABC=30^\circ $，$ AC=1 $，将$ \triangle ABC $绕点$ C $逆时针旋转至$ \triangle A'B'C $，点$ A' $恰好落在$ AB $上，连接$ BB' $，则$ BB' $的长为______.

答案： $ \sqrt{3} $
$ AC=1 $，$ AB=2 $，$ BC=\sqrt{3} $. 旋转后$ A'C=AC=1 $，$ \angle ACA'=60^\circ $，$ \triangle ACA' $等边，$ \angle BCB'=60^\circ $，$ \triangle BCB' $等边，$ BB'=BC=\sqrt{3} $.