《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

10. 已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=90°.
（1）如图（1），连接BD，若⊙O的半径为6，AD=AB，求AB的长.
（2）如图（2），连接AC，若AD=5，AB=3，对角线AC平分∠DAB，则AC的长为 .
（第10题）

答案： （1）6√2；（2）4√2
（1）∠DAB=90°，BD为直径，BD=12。AD=AB，△ABD为等腰直角三角形，AB=12/√2=6√2。
（2）过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，设CE=CF=h。AE=AF=h，BE=h-3，DF=5-h。△CEB≌△CFD，h-3=5-h，h=4，AC=√(4²+4²)=4√2。

11. 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上的一大难题，曾被数学家认为是不可能完成的. 人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器. 图（1）是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一条直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长. 使用方法如图（2）所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一条边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了. 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明. 如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.
已知：如图（2），点A，B，O，C在同一条直线上，EB⊥AC，垂足为B， .
求证： .
（第11题）

答案： 已知：AB=OB，半圆O与EN相切于点F；求证：∠1=∠2=∠3
证明：AB=OB=OF，EB⊥AC，∠1=∠2。半圆O与EN相切，OF⊥EN，EB//OF，∠2=∠3，故∠1=∠2=∠3。