《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

24. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 5\ cm$，$BC = 6\ cm$，点$P$从点$A$开始沿边$AB$向终点$B$以1 cm/s的速度移动，与此同时，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向终点$C$以2 cm/s的速度移动. 如果$P$，$Q$分别从$A$，$B$同时出发，当点$Q$运动到点$C$时，两点停止运动. 设运动时间为$ t(0 ＜ t ＜ 3)\ s$.
（1）当$ t $为何值时，点$ B $在$ PQ $的垂直平分线上？
（2）当$ t $为何值时，$ PQ $的长度等于5 cm？
（3）连接$ PC $，是否存在$ t $的值，使得$\triangle PQC$的面积等于$8\ cm^2$？若存在，请求出此时$ t $的值；若不存在，请说明理由.
（4）是否存在$ t $的值，使得$\triangle BPQ$的面积与五边形$APQCD$的面积之比等于2:13？若存在，请求出此时$ t $的值；若不存在，请说明理由.

答案： （1）$BP = 5 - t$，$BQ = 2t$，$BP = BQ$时$B$在$PQ$垂直平分线上，$5 - t = 2t$，$t = \frac{5}{3}$.
（2）$PQ^2 = (5 - t)^2 + (2t)^2 = 25$，$5t^2 - 10t = 0$，$t = 2$（$t = 0$舍）.
（3）$S_{\triangle PQC} = \frac{1}{2}(6 - 2t)(5 - t) = 8$，$(3 - t)(5 - t) = 8$，$t^2 - 8t + 7 = 0$，$t = 1$（$t = 7$舍），存在$t = 1$.
（4）$S_{\triangle BPQ} = \frac{1}{2}(5 - t)(2t) = t(5 - t)$，矩形面积30，$\frac{t(5 - t)}{30 - t(5 - t)} = \frac{2}{13}$，$13t(5 - t) = 2[30 - t(5 - t)]$，$t^2 - 5t + 4 = 0$，$t = 1$（$t = 4$舍），存在$t = 1$.