《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

结构梳理
填空：①_______；②_______；③_______.

答案： ①顶点式；②直线$ x=-\frac{b}{2a} $；③$ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $
解析：二次函数$ y=ax^2 + bx + c $通过配方化为顶点式，其对称轴为直线$ x=-\frac{b}{2a} $，顶点坐标为$ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $.

1. 抛物线$ y=x^2 + 6x + 4 $的对称轴是（ ）.
A. $ x=-3 $ B. $ x=-6 $ C. $ x=6 $ D. $ x=4 $

答案： A
解析：对称轴$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2}=-3 $.

2. 二次函数$ y=-x^2 + 2x + 4 $的最大值是（ ）.
A. -2 B. 2 C. 5 D. 9

答案： C
解析：对称轴$ x=-\frac{2}{2(-1)}=1 $，最大值$ y=-(1)^2 + 2(1) + 4=5 $.

3. 已知二次函数$ y=2x^2 + 5x - 3 $的图象上有点$ A(1, y_1) $，$ B(-1, y_2) $，$ C(-2, y_3) $，则$ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $的大小关系为（ ）.
A. $ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $ B. $ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $ C. $ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $ D. $ y_3 ＞ y_1 ＞ y_2 $

答案： B
解析：对称轴$ x=-\frac{5}{4}=-1.25 $. 各点到对称轴距离：$ A(1) $距离2.25，$ B(-1) $距离0.25，$ C(-2) $距离0.75. $ a=2＞0 $，距离越远$ y $越大，故$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $.

4. 已知二次函数$ y=-x^2 + x + c $的图象与$ y $轴交于正半轴，则$ c $可能是（ ）.
A. 1 B. 0 C. -1 D. -2

答案： A
解析：与$ y $轴交点为$ (0, c) $，正半轴则$ c＞0 $，选项中只有1符合.

5. 已知抛物线$ y=2x^2 - 8x - 3 $，当$ x $_______时，$ y $随$ x $的增大而增大.

答案： $ ＞ 2 $
解析：对称轴$ x=\frac{8}{4}=2 $，$ a=2＞0 $，当$ x＞2 $时$ y $随$ x $增大而增大.

6. 请写出一个过原点且对称轴为$ x=1 $的抛物线的解析式：_______.

答案： $ y=x^2 - 2x $（答案不唯一）
解析：设$ y=a(x-1)^2 + k $，过原点$ 0=a - k $，取$ a=1 $，则$ k=-1 $，解析式为$ y=(x-1)^2 - 1=x^2 - 2x $.