《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

4. 如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，点A是$\widehat{EC}$的中点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC. 若∠ADB=58.5°，则∠ACE的度数为______.

答案： 31.5°
解析：
∵AD是切线，AB是直径，
∴AD⊥AB，∠DAB=90°.
∵∠ADB=58.5°，
∴∠ABD=90°-58.5°=31.5°.
∵∠ABD是圆周角，对应$\widehat{AC}$，
∴$\widehat{AC}$的度数=2∠ABD=63°.
∵A是$\widehat{EC}$中点，
∴$\widehat{AE}=\widehat{AC}=63°$.
∠ACE是圆周角，对应$\widehat{AE}$，
∴∠ACE=1/2×63°=31.5°.

5. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心、PM长为半径作⊙P. 当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______.

答案： 3或$4\sqrt{3}$
解析：设BP=x，则PC=8-x，PM=$\sqrt{x^2+4^2}=\sqrt{x^2+16}$.
①与CD边相切：圆心P到CD距离=8-x，
∴8-x=$\sqrt{x^2+16}$，解得x=3.
②与AD边相切：圆心P到AD距离=8，
∴$\sqrt{x^2+16}=8$，解得x=$4\sqrt{3}$.
综上，BP=3或$4\sqrt{3}$.

6. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，AC为⊙O的直径，AC，PB的延长线交于点E，连接BC.
（1）若∠P=50°，求∠ACB的度数.
（2）∠CBE与∠E之间有怎样的数量关系？请说明理由.

答案： （1）65°；（2）∠CBE=∠E，理由见解析
解析：（1）
∵PA，PB是切线，
∴PA=PB，∠PAB=∠PBA.
∵∠P=50°，
∴∠PBA=(180°-50°)/2=65°.
∵PA是切线，AC是直径，
∴∠PAC=90°，∠BAC=90°-∠PAB=90°-65°=25°.
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=90°-25°=65°.
（2）∠CBE=∠E. 理由：
∵PA，PB是切线，
∴∠PAB=∠PBA，∠PAB=∠ACB（弦切角定理）.
∵∠ACB=∠OBC（OB=OC），∠OBC+∠CBE=90°（OB⊥PB），∠ACB+∠E=90°（∠E+∠BAC=90°，∠BAC+∠ACB=90°），
∴∠CBE=∠E.

7. 如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆O于点F，交AD边于点E. 若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为______.

答案： 14
解析：设正方形边长为a，AE=x，由切线长定理得EF=AE=x，FC=BC=a，
∴EC=x+a.
△CDE周长=ED+DC+EC=(a-x)+a+(x+a)=3a=12，
∴a=4.
在Rt△EDC中，(4-x)²+4²=(x+4)²，解得x=1.
梯形ABCE周长=AB+BC+CE+EA=4+4+(1+4)+1=14.

8. 如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC，BC于点M，N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E.
（1）求证：ME是⊙O的切线.
（2）若CD=5，AC=8，求ME的长.

答案： （1）见解析；（2）$\frac{12}{5}$
解析：（1）连接OM，
∵CD是中线，
∴CD=AD，∠A=∠ACD.
∵OM=OC，
∴∠OMC=∠ACD=∠A.
∵ME⊥AB，
∴∠A+∠AME=90°，
∴∠OMC+∠AME=90°，∠OME=90°，即OM⊥ME，
∴ME是切线.
（2）AB=2CD=10，BC=6（勾股定理）. 设ME=6k，AE=8k（△AEM∽△ACB）.
AM=10k，CM=8-10k. 在△OMC中，OM=2.5，由余弦定理：
$2.5^2=(8-10k)^2+2.5^2-2(8-10k)×2.5×\frac{4}{5}$，解得k=0.4，
∴ME=6×0.4=12/5.