《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

18. 如图，抛物线$y = a(x + 1)^2 + k$与坐标轴交于点A(-4，0)，B，C(0，4)．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）P(-2，4)是抛物线上的一个定点，M为线段CO上的一个动点，求$\triangle APM$周长的最小值．

答案： （1）代入A(-4,0),C(0,4)得$\begin{cases}9a + k = 0 \\ a + k = 4\end{cases}$，解得$a = -\frac{1}{2}$，$k = \frac{9}{2}$。
∴解析式$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{9}{2}$。
（2）作A关于y轴对称点A'(4,0)，连接A'P交CO于M，周长最小值$AP + A'P = 5 + 5\sqrt{2}$。

19. 根据以下素材，完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1：小林在练习投掷实心球，其示意图如图（1）．第一次练习时，球从距离地面1.6 m的点A处被抛出，其路线是抛物线．当球到OA的水平距离为1 m时，达到最大高度，最大高度为1.8 m．
素材2：根据体育老师的建议，第二次练习时，小林在正前方1 m处（如图（2））架起距离地面2.45 m的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离OC = 8 m．
（1）任务1：计算投掷距离 建立合适的平面直角坐标系，求素材1中的投掷距离OB．
（2）任务2：探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量．
（3）任务3：提出训练建议 为把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．

答案： （1）以O为原点，抛物线顶点(1,1.8)，A(0,1.6)，解析式$y = -0.2(x - 1)^2 + 1.8$。令$y = 0$得$x = 4$（$x = -2$舍去），OB=4m。
（2）素材2中抛物线过A(0,1.6),C(8,0),(1,2.45)，解得顶点纵坐标2.5m，变化量$2.5 - 1.8 = 0.7$m。
（3）适当提高出手点高度（或调整投掷角度）。