《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

5. 已知抛物线$ y=-x^{2}+bx+c $的顶点为$ (1,5) $，那么关于x的一元二次方程$ -x^{2}+bx+c-5=0 $的根的情况是（ ）.
A. 有两个不等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定

答案： B
解析：抛物线顶点$ (1,5) $，则$ y=-(x-1)^{2}+5 $，方程$ -x^{2}+bx+c-5=0 $即$ y=5 $，抛物线顶点在$ y=5 $上，有两个相等实根.

6. 已知二次函数$ y=\frac{1}{3}x^{2}-x-2 $的图象如图所示，则关于x的方程$ \frac{1}{3}x^{2}-x-2=0 $的近似解为______（精确到0.1）.

答案： -1.5，4.5
解析：抛物线与x轴交点横坐标约为$ -1.5 $和$ 4.5 $.

7. 二次函数$ y=mx^{2}+2x+1 $的图象与x轴有两个交点，请写出一个符合条件的m的值______.

答案： 0.5（答案不唯一，$ m＜1 $且$ m\neq0 $即可）
解析：$ \Delta=4 - 4m＞0 $且$ m\neq0 $，即$ m＜1 $且$ m\neq0 $，如$ m=0.5 $.

8. 如图，抛物线$ y=ax^{2} $与直线$ y=bx+c $的两个交点坐标分别为$ A(-2,4) $，$ B(1,1) $，则关于x的方程$ ax^{2}-bx-c=0 $的解是______.

答案： $ x_{1}=-2 $，$ x_{2}=1 $
解析：方程$ ax^{2}=bx+c $的解为交点横坐标，即$ ax^{2}-bx-c=0 $的解为$ x=-2 $和$ x=1 $.

9. 在利用图象法求方程$ x^{2}-x-3=0 $的解$ x_{1},x_{2} $时，给出下列说法：① 函数$ y=x^{2}-x-3 $的图象与x轴交点的横坐标是$ x_{1},x_{2} $；② 函数$ y=x^{2} $与$ y=x+3 $的图象交点的横坐标是$ x_{1},x_{2} $；③ 函数$ y=x^{2}-3 $与$ y=x $的图象交点的横坐标是$ x_{1},x_{2} $；④ 函数$ y=x^{2}+1 $与$ y=x+4 $的图象交点的横坐标是$ x_{1},x_{2} $. 其中正确的有______（填序号）.

答案： ①②③④
解析：①方程的根即函数与x轴交点横坐标，正确；②③④均等价于$ x^{2}-x-3=0 $，交点横坐标为方程的解，均正确.

10. 可以用如下方法求方程$ x^{2}-2x-2=0 $的实数根的范围：利用函数$ y=x^{2}-2x-2 $的图象可知，当$ x=0 $时，$ y＜0 $；当$ x=-1 $时，$ y＞0 $，所以方程有一个根在-1和0之间.
（1）求方程$ x^{2}-2x-2=0 $的另一个根在哪两个连续整数之间.
（2）若方程$ x^{2}-2x+c=0 $有一个根在0和1之间，求c的取值范围.

答案： （1）函数$ y=x^{2}-2x-2 $对称轴为$ x=1 $，$ x=2 $时$ y=4 - 4 - 2=-2＜0 $，$ x=3 $时$ y=9 - 6 - 2=1＞0 $，
∴另一个根在2和3之间.
（2）设$ f(x)=x^{2}-2x+c $，开口向上，$ f(0)f(1)＜0 $，即$ c(c - 1)＜0 $，解得$ 0＜c＜1 $.

11. 如图，将抛物线$ y=x^{2}-2x-3 $在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到$ C_{1} $. 请探究直线$ y=b $（b为常数）与$ C_{1} $的交点个数以及对应的b的取值范围.

答案： 当$ b＜0 $时，0个交点；当$ b=0 $时，2个交点；当$ 0＜b＜4 $时，4个交点；当$ b=4 $时，3个交点；当$ b＞4 $时，2个交点.
解析：原抛物线与x轴交于$ (-1,0),(3,0) $，顶点$ (1,-4) $，翻折后顶点$ (1,4) $.分情况讨论直线$ y=b $与翻折后图象的交点：$ b＜0 $无交点；$ b=0 $交$ (-1,0),(3,0) $；$ 0＜b＜4 $翻折部分2个、原抛物线部分2个；$ b=4 $翻折顶点1个、原抛物线部分2个；$ b＞4 $原抛物线部分2个.