《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

5. 方程$2x^{2}+3x - 1=0$的根为__________.

答案： $x_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
解析：$a=2$，$b=3$，$c=-1$，$\Delta=9 + 8=17$，$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$。

6. 一元二次方程$x^{2}-2(a - 2)x + a^{2}-4=0$有两个实数根，则$a$的取值范围是__________.

答案： $a\leq2$
解析：$\Delta=[-2(a - 2)]^{2}-4(a^{2}-4)=4(a^{2}-4a + 4)-4a^{2}+16=-16a + 32\geq0$，解得$a\leq2$。

7. 用公式法解方程：
（1）$3x^{2}-2\sqrt{3}x + 1=0$；
（2）$3x(x - 3)=2(x - 1)(x + 1)$.

答案： （1）$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；（2）$x_{1}=\frac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_{2}=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$
解析：（1）$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$，$\Delta=12 - 12=0$，$x=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
（2）方程化为$3x^{2}-9x=2x^{2}-2$即$x^{2}-9x + 2=0$，$a=1$，$b=-9$，$c=2$，$\Delta=81 - 8=73$，$x=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$。

8. 若一元二次方程$x^{2}+2x + m=0$中的$\Delta=0$，则方程的两个根为__________.

答案： $x_{1}=x_{2}=-1$
解析：$\Delta=4 - 4m=0$得$m=1$，方程为$x^{2}+2x + 1=0$，$(x + 1)^{2}=0$，根为$x_{1}=x_{2}=-1$。

9. 关于$x$的方程$mx^{2}+x - m + 1=0$有以下三个结论：①当$m=0$时，方程只有一个实数解；②当$m\neq0$时，方程有两个不等的实数解；③无论$m$取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是________（填序号）.

答案： ①③
解析：①$m=0$时，方程为$x + 1=0$，一个实根，正确；②$m\neq0$时，$\Delta=1 - 4m(-m + 1)=(2m - 1)^{2}\geq0$，当$m=\frac{1}{2}$时，$\Delta=0$，两个相等实根，错误；③$m=0$时$x=-1$（负根），$m\neq0$时，由韦达定理$x_{1}x_{2}=\frac{-m + 1}{m}$，分析可知必有负根，正确。

10. 已知一元二次方程$x^{2}+bx + c=0$．在下面的四组条件中选择其中一组$b,c$的值，使这个方程有两个不等的实数根，并解这个方程．
①$b=2,c=1$；②$b=3,c=1$；③$b=3,c=-1$；④$b=2,c=2$.

答案： 选③，方程的根为$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$
解析：选③$b=3$，$c=-1$，$\Delta=9 + 4=13＞0$，方程$x^{2}+3x - 1=0$，$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$。