《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

12. （2）问题探究
① 已知一元二次方程$x^2 + 2x - 8 = 0$的两个根为$x_1=2$，$x_2=-4$，那么$\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}$是否为该方程的“友好方程”的解？请说明理由．
② 根据上述结论，猜想$ax^2 + bx + c = 0$的两个根$x_1, x_2$与其“友好方程”$cx^2 + bx + a = 0$的两个根$x_3, x_4$之间存在哪种特殊关系，不需证明．
（3）拓展提升
已知关于x的方程$2025x^2 + bx - 1 = 0$的两个根是$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2025}$．请利用（2）中的结论，直接写出关于x的方程$(x - 1)^2 - bx + b = 2025$的两个根．

答案： （2）① 是；② 互为倒数；（3）$x=0$，$x=2026$
解析：（2）① 原方程友好方程为$-8x^2 + 2x + 1 = 0$，即$8x^2 - 2x - 1 = 0$。将$\frac{1}{2}$代入：$8×(\frac{1}{2})^2 - 2×\frac{1}{2} - 1 = 0$；$-\frac{1}{4}$代入：$8×(-\frac{1}{4})^2 - 2×(-\frac{1}{4}) - 1 = 0$，均为解。② 友好方程的根是原方程根的倒数。
（3）方程整理为$(x - 1)^2 - b(x - 1) - 2025 = 0$，设$y=x - 1$，方程为$y^2 - by - 2025 = 0$，其为$2025x^2 + bx - 1 = 0$的友好方程，根为原方程根的倒数$-1$，$2025$，故$x - 1=-1$或$2025$，$x=0$或$2026$。