《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

9. 戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一. 一款成本价为每盒50元的医用口罩，某商家按每盒70元进行销售，每天可卖出20盒. 通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，日销售量增加2盒.
（1）若每盒售价降低$ x $元，则日销售量可表示为______盒，每盒口罩的利润为______元.
（2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？
（3）每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？求出最大日利润.

答案： （1）$ 20 + 2x $；$ 20 - x $
（2）原日利润为$ (70 - 50) × 20 = 400 $元.
由题意：$ (20 - x)(20 + 2x) = 400 $，整理得$ x^2 - 10x = 0 $，解得$ x_1 = 0 $（舍去），$ x_2 = 10 $.
售价为$ 70 - 10 = 60 $元.
答：每盒售价应定为60元.
（3）设日利润为$ y $元，$ y = (20 - x)(20 + 2x) = -2x^2 + 20x + 400 $.
对称轴$ x = 5 $，此时售价$ 70 - 5 = 65 $元，$ y_{max} = -2 × 5^2 + 20 × 5 + 400 = 450 $元.
答：售价定为65元时，最大日利润为450元.

10. 某网店销售一款玩具，每件进价为20元. 当销售单价为25元时，平均每天可售出250件；当销售单价每增加1元时，平均每天的销售量将减少10件. 该网店决定每销售1件玩具，就捐赠$ a $（$ 1 ＜ a \leq 4 $）元给希望工程. 若平均每天扣除捐赠后可获得最大利润1690元，求$ a $的值.

答案： 设销售单价增加$ x $元，扣除捐赠后利润为$ y $元.
由题意得：$ y = (25 + x - 20 - a)(250 - 10x) = (5 + x - a)(250 - 10x) $.
整理得：$ y = -10x^2 + (200 + 10a)x + 1250 - 250a $.
对称轴$ x = \frac{20 + a}{2} $，代入函数得：
$ y_{max} = -10\left(\frac{20 + a}{2}\right)^2 + (200 + 10a)\left(\frac{20 + a}{2}\right) + 1250 - 250a = 1690 $.
化简得：$ (25 - a)^2 = 169 $，解得$ a = 2 $（$ a = 48 $舍去，因为$ 1 ＜ a \leq 4 $）.
答：$ a $的值为2.