《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

10. 已知抛物线$ y=(x-m)² +m +1 $.
（1）若抛物线的顶点在第二象限，求$ m $的取值范围.
（2）若$ m=-2 $，求以抛物线与坐标轴的交点为顶点的三角形的面积.

答案： （1）顶点$ (m,m+1) $在第二象限，$ m＜0 $且$ m+1＞0 $，解得$ -1＜m＜0 $.
（2）$ m=-2 $时解析式$ y=(x+2)² -1 $，与坐标轴交点$ (-1,0),(-3,0),(0,3) $，面积$ \frac{1}{2}×2×3=3 $.

11. 如图，某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练，水面边缘点$ E $的坐标为$(-1.5, -10)$. 运动员（看作一点）在空中运动的路线是经过原点$ O $的抛物线. 在跳某个规定动作时，运动员在空中最高点$ A $的坐标为$(1, 1.25)$. 正常情况下，运动员在距水面高度5 m以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误. 运动员入水后，运动路线为另一条抛物线.
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求入水处点$ B $的坐标.
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点$ E $的水平距离为5 m，该运动员此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由.
（3）在该运动员入水点的正前方有$ M $，$ N $两点，且$ EM=10.5 \, m $，$ EN=13.5 \, m $，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为$ y=a(x-h)^2+k $，且顶点$ C $距水面4 m，若该运动员出水点$ D $在$ M $，$ N $之间（包括$ M $，$ N $两点），请直接写出$ a $的取值范围.

答案： （1）解析式为$ y=-\frac{5}{4}x^2 + \frac{5}{2}x $，入水点$ B(4, -10) $
解析：设抛物线顶点式$ y=a(x-1)^2 + 1.25 $，过原点$ (0,0) $，则$ 0=a(0-1)^2 + 1.25 $，解得$ a=-\frac{5}{4} $. 解析式为$ y=-\frac{5}{4}(x-1)^2 + \frac{5}{4}=-\frac{5}{4}x^2 + \frac{5}{2}x $. 令$ y=-10 $（水面高度），则$ -\frac{5}{4}x^2 + \frac{5}{2}x=-10 $，化简得$ x^2 - 2x - 8=0 $，解得$ x=4 $（$ x=-2 $舍去），故$ B(4, -10) $.
（2）会失误
解析：点$ E(-1.5, -10) $，水平距离5 m时，$ x=-1.5 + 5=3.5 $（$ x=-1.5 - 5=-6.5 $舍去）. 代入抛物线得$ y=-\frac{5}{4}(3.5)^2 + \frac{5}{2}(3.5)=-\frac{105}{16} \approx -6.56 $. 距水面高度为$ -6.56 - (-10)=3.44 ＜ 5 \, m $，故失误.
（3）$ -\frac{16}{25} \leq a \leq -\frac{1}{4} $
解析：$ M(9, -10) $，$ N(12, -10) $，顶点$ C(h, -6) $（距水面4 m）. 抛物线$ y=a(x-h)^2 - 6 $过$ B(4, -10) $和$ D(x, -10) $（$ 9 \leq x \leq 12 $），则$ (x-h)^2=(4-h)^2 $，得$ x=2h - 4 $. 由$ 9 \leq 2h - 4 \leq 12 $得$ 6.5 \leq h \leq 8 $，进而$ (h - 4)^2 \in [6.25, 16] $，故$ a=-\frac{4}{(h - 4)^2} \in [-\frac{16}{25}, -\frac{1}{4}] $.