《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

9. 如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE//AC交BC于点E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长DC交BA的延长线于点F.
（1）求证：DC是⊙O的切线.
（2）若∠ABC=30°，AB=8，则线段CF的长为 .

答案： （1）证明：连接OC.
∵OE//AC，AB是直径，∠ACB=90°，
∴∠OEB=∠ACB=90°，即OE⊥BC.
∴OE垂直平分BC，
∴DB=DC.
∵OB=OC，OD=OD，
∴△ODB≌△ODC（SSS），∠OBD=∠OCD.
∵BD是切线，∠OBD=90°，
∴∠OCD=90°，即OC⊥DC，DC是切线.
（2）4√3
∵∠ABC=30°，AB=8，
∴OB=OC=4，∠BAC=60°，△AOC是等边三角形，AC=4.
设CF=x，OF=OA+AF=4+AF.
∵OE//AC，△FOD∽△FAC，OD/AC=OF/OA.
∵∠OBD=90°，∠ABC=30°，OD=2OB=8，
∴8/4=(4+AF)/4，AF=4，OF=8.
在Rt△OCF中，CF=√(OF²-OC²)=√(8²-4²)=4√3.

10. 数学课上，老师带领大家一起学习过圆上一点作圆的切线的方法，下课后小明同学思考：能否过圆外一点作圆的切线？他设计了如下的尺规作图过程.
已知：如图，⊙O和⊙O外的一点P.
求作：经过点P的⊙O的切线.
作法：① 连接OP，作线段OP的中点C；
② 以C为圆心、CO为半径画弧，与⊙O交于A，B两点；
③ 连接PA，PB，直线PA，PB就是所求作的⊙O的切线.
根据上述作图过程，解决以下问题.
（1）用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）.
（2）请证明直线PA，PB就是所求作的⊙O的切线.
（3）圆的两条切线PA，PB关于直线OP有怎样的位置关系？请说明理由.
（4）你还有其他画法吗？请和同伴交流你的画法.

答案： （1）作图略（保留OP中点C，以C为圆心CO为半径画弧交⊙O于A、B，连接PA、PB）.
（2）证明：连接OA.
∵C是OP中点，以C为圆心CO为半径画弧，
∴CA=CO=CP，
∴∠OAP=90°（直径所对圆周角）.
∵OA是半径，
∴OA⊥PA，PA是切线，同理PB是切线.
（3）关于直线OP对称.
理由：
∵PA=PB（切线长定理），OP=OP，
∴△OPA≌△OPB（SSS），OP是对称轴.
（4）略（如：过P作OP垂线，与以OP为直径的圆交点即为切点）.