《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

13. 如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），给出下列结论：①$a ＞ 0$；②$2a + b = 0$；③$a + b + c = 0$；④当$-1 ＜ x ＜ 3$时，$y ＞ 0$；⑤$\frac{8}{3} \leq n \leq 4$．其中正确的是 （填序号）．

答案： ②④⑤
解析：对称轴$x = 1$，$-\frac{b}{2a} = 1$即$b = -2a$，②正确；$a ＜ 0$（开口向下），①错误；与x轴另一交点(3,0)，故$-1 ＜ x ＜ 3$时$y ＞ 0$，④正确；$c = -3a$，$2 \leq c \leq 3$得$-1 \leq a \leq -\frac{2}{3}$，顶点$n = -4a \in [\frac{8}{3}, 4]$，⑤正确；$a + b + c = -4a \neq 0$，③错误。

14. 某课外活动小组准备围建一个矩形苗圃，如图所示，其中一边靠墙，另外三边用总长为30 m的篱笆围成．已知墙长为18 m，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x m．
（1）求面积S（单位：$m^2$）与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（2）垂直于墙的一边长为多少米时，这个苗圃的面积最大？

答案： （1）平行墙边长为$30 - 2x$，面积$S = x(30 - 2x) = -2x^2 + 30x$。
自变量范围：$30 - 2x \leq 18$且$30 - 2x ＞ 0$，即$6 \leq x ＜ 15$。
（2）对称轴$x = \frac{30}{4} = 7.5$，在范围内，故$x = 7.5$m时面积最大。