《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

4. 如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=28°，OD的延长线交直线BC于点C，当∠OCB= 时，直线BC与⊙O相切.

答案： 34°
若BC与⊙O相切，则OB⊥BC，∠OBC=90°.
∵∠A=28°，
∴∠BOD=2∠A=56°.
在△OBC中，∠OCB=180°-∠OBC-∠BOD=180°-90°-56°=34°.

5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以点O为圆心、OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）. 若∠ABC=60°，则∠CBD的度数为 .

答案： 30°
连接OD，
∵AC是切线，
∴OD⊥AC，OD//BC.
设∠CBD=x，
∵∠ABC=60°，
∴∠OBD=60°-x.
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=60°-x.
∵OD//BC，
∴∠ODB=∠CBD=x，
∴60°-x=x，解得x=30°.

6. 如图，△ABC内接于大⊙O，∠C=∠B，小⊙O与AB相切于点D，求证：AC是小⊙O的切线.

答案： 证明：作OE⊥AC于E，连接OD，OA.
∵∠C=∠B，
∴AB=AC.
∵小⊙O与AB相切于D，
∴OD⊥AB，OD是半径.
∵AB=AC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，即OA平分∠BAC.
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE=OD（角平分线性质）.
∵OE是小⊙O的半径且OE⊥AC，
∴AC是小⊙O的切线.

7. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，⊙C的半径为1，点P在AB边上运动，过点P的直线PQ与⊙C相切于点Q，则PQ的最小值为 ，最大值为 .

答案： √2；√11
∵PQ切⊙C于Q，
∴CQ⊥PQ，CQ=1，PQ²=PC²-CQ²=PC²-1.
当PC最小时，PQ最小；PC最大时，PQ最大.
在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，BC=2，AC=2√3，C到AB的距离h=（AC·BC）/AB=（2√3×2）/4=√3，即PC最小值=√3，PQ最小值=√( (√3)² -1 )=√2.
PC最大值为AC=2√3，PQ最大值=√( (2√3)² -1 )=√(12-1)=√11.

8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心、OB为半径的圆与边AB相交于点D，连接CD，CD为⊙O的切线.
（1）求证：CD=AC.
（2）若CD=BD，⊙O的半径为1，则CD的长为 .

答案： （1）证明：连接OD.
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，∠ODC=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°.
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∴∠CDA=90°-∠ODB=90°-∠B=∠A，
∴CD=AC.
（2）√3
设CD=BD=x，由（1）知AC=CD=x.
连接OD，OD=1，∠ODC=90°，则OC²=OD²+CD²=1+x².
∵AB=AD+BD，∠A=∠CDA，
∴AD=CD=x，AB=2x.
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²，BC=OB+OC=1+√(1+x²)，
∴(2x)²=x²+(1+√(1+x²))²，化简得x⁴-3x²=0，解得x=√3（x＞0），即CD=√3.