《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

17. 我们称顶点相同的抛物线为“共顶抛物线”，已知抛物线$C_1:y = x^2 - 2x + 2$.
（1）下列抛物线中，与$C_1$是“共顶抛物线”的是__________（填序号）.
①$y = 3x^2 - 6x + 4$；②$y=-3x^2 + 6x - 1$；③$y=-2x^2 + 4x - 1$；④$y = 2x^2 + 1$.
（2）若抛物线$C_2:y = ax^2 - 2ax + c(a≠0)$与$C_1$是“共顶抛物线”，且抛物线$C_2$经过点$(-1,3)$，求抛物线$C_2$的解析式.

答案： （1）①③；（2）$y=\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}$
解析：（1）$C_1:y=(x - 1)^2 + 1$，顶点（1，1）。①$y=3(x - 1)^2 + 1$，顶点（1，1）；②$y=-3(x - 1)^2 + 2$，顶点（1，2）；③$y=-2(x - 1)^2 + 1$，顶点（1，1）；④顶点（0，1），故①③。（2）$C_2:y=a(x - 1)^2 + c - a$，顶点（1，1）得$c - a=1$，过$(-1,3)$得$3=4a + c - a=3a + c$，联立得$a=\frac{1}{2}$，$c=\frac{3}{2}$，解析式$y=\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}$。

18. 已知二次函数$y = x^2 - 2mx + 2m^2 + 1$（$m$是常数）.
（1）求证：不论$m$取何值，该函数的图象与$x$轴都没有公共点.
（2）如果把该函数图象沿$y$轴向下平移5个单位长度后，得到的函数图象与$x$轴只有一个公共点，求$m$的值.

答案： （1）证明见解析；（2）$m=±2$
解析：（1）$\Delta=(-2m)^2 - 4(2m^2 + 1)=4m^2 - 8m^2 - 4=-4m^2 - 4＜0$，故无公共点。（2）平移后$y=x^2 - 2mx + 2m^2 - 4$，$\Delta=4m^2 - 4(2m^2 - 4)=-4m^2 + 16=0$，$m^2=4$，$m=±2$。

19. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 90^\circ$，$AB = 12\ cm$，$BC = 24\ cm$，动点$P$从点$A$开始，以2 cm/s的速度沿$AB$向$B$移动（不与点$B$重合）；动点$Q$从点$B$开始，以4 cm/s的速度沿$BC$向$C$移动（不与$C$重合）. 如果$P$，$Q$分别从$A$，$B$同时出发，设运动的时间为$x\ s$，四边形$APQC$的面积为$y\ cm^2$.
（1）写出$y$与$x$之间的函数解析式.
（2）当$x = 3$时，求四边形$APQC$的面积.

答案： （1）$y=4x^2 - 24x + 144$；（2）108
解析：（1）$AP=2x$，$PB=12 - 2x$，$BQ=4x$，$S_{\triangle ABC}=144$，$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}(12 - 2x)(4x)=24x - 4x^2$，$y=144 - (24x - 4x^2)=4x^2 - 24x + 144$。（2）$x=3$时，$y=4×9 - 24×3 + 144=36 - 72 + 144=108$。