《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

6. 解下列方程：
（1）$3x^2=27$；
（2）$(x - 2)^2 - 9 = 0$．

答案： （1）$x_1=3$，$x_2=-3$；（2）$x_1=5$，$x_2=-1$
解析：（1）$x^2=9$，$x=\pm3$。
（2）$(x - 2)^2=9$，$x - 2=\pm3$，$x=5$或$x=-1$。

7. 李老师在课上布置了一道练习题，如下．
若$(x^2 + y^2 - 3)^2=16$，求$x^2 + y^2$的值．
看到此题后，小梅很快写出了如下所示的解题过程．
解：∵$(x^2 + y^2 - 3)^2=16$， …………………… ①
∴$x^2 + y^2 - 3 = \pm4$． …………………… ②
∴$x^2 + y^2=7$或$x^2 + y^2=-1$．………………… ③
小梅的上述解题过程中哪一步出错了？请你写出正确的解题步骤．

答案： 第③步出错，正确值为7
解析：
∵$x^2 + y^2\geq0$，
∴$x^2 + y^2=-1$舍去，故$x^2 + y^2=7$。

8. 定义新运算：$a⊗b=\begin{cases}a^2 - b(a\leq0)\\-a + b(a＞0)\end{cases}$，例如：$(-2)⊗4=(-2)^2 - 4=0$，$2⊗3=-2 + 3=1$．
若$x⊗1=-\frac{3}{4}$，则x的值为 ．

答案： $x=-\frac{1}{2}$或$x=\frac{7}{4}$
解析：当$x\leq0$时，$x^2 - 1=-\frac{3}{4}$，$x^2=\frac{1}{4}$，$x=-\frac{1}{2}$；当$x＞0$时，$-x + 1=-\frac{3}{4}$，$x=\frac{7}{4}$。

9. 如果关于x的一元二次方程$ax^2 = b$（$ab＞0$）的两个根分别是$x_1=m + 1$与$x_2=2m - 4$，那么$\frac{b}{a}$的值为 ．

答案： 4
解析：方程可化为$x^2=\frac{b}{a}$，两根互为相反数，$x_1 + x_2=0$，$m + 1 + 2m - 4=0$，$m=1$，$x_1=2$，$x_2=-2$，$\frac{b}{a}=x^2=4$。

10. 若关于$x$的方程$a(x + m)^2 + b = 0$的解是$x_1 = -2$，$x_2 = 1$，则方程$a(x + m + 2)^2 + b = 0$的解是 ______.

答案： $x_1 = -4$，$x_2 = -1$
方程$a(x + m)^2 + b = 0$的解为$x = -m \pm \sqrt{-\dfrac{b}{a}}$
已知解为$x_1 = -2$，$x_2 = 1$，则$-m + \sqrt{-\dfrac{b}{a}} = 1$，$-m - \sqrt{-\dfrac{b}{a}} = -2$
设$t = x + m + 2$，方程$a t^2 + b = 0$的解为$t = -m \pm \sqrt{-\dfrac{b}{a}}$，即$t = 1$或$t = -2$
$\therefore x + m + 2 = 1$或$x + m + 2 = -2$
$x = 1 - m - 2 = -m -1$或$x = -2 - m - 2 = -m -4$
由$-m + \sqrt{-\dfrac{b}{a}} = 1$得$-m = 1 - \sqrt{-\dfrac{b}{a}}$，代入$x = -m -1 = -\sqrt{-\dfrac{b}{a}}$；由$-m - \sqrt{-\dfrac{b}{a}} = -2$得$-m = -2 + \sqrt{-\dfrac{b}{a}}$，代入$x = -m -4 = -2 + \sqrt{-\dfrac{b}{a}} -4 = \sqrt{-\dfrac{b}{a}} -6$，此方法复杂，更简单：
令$y = x + 2$，则方程$a(y + m)^2 + b = 0$的解为$y = -2$或$y = 1$
$\therefore x + 2 = -2$或$x + 2 = 1$，$x = -4$或$x = -1$