《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

11. 一元二次方程的几何解法（一）
图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象. 历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如欧几里得解法、花拉子米解法、卡莱尔解法、斯陶特解法、赵爽解法等，让我们一起来了解一下吧.
以方程$x^2 + 10x - 39 = 0$，即$x(x + 10) = 39$为例. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：用4个长都是$(x + 10)$，宽都是$x$的相同矩形，拼成如图所示的正方形.
（1）图中，大正方形面积可以表示为（______）$^2$（用含$x$的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于$4×39 +$______，利用平方根的意义，可以解得$x_1 =$______，$x_2 =$______.
（2）上述求解过程中所用的数学思想方法是 ______.
A. 分类讨论思想
B. 数形结合思想
C. 函数方程思想
D. 公理化思想

答案： （1）$2x + 10$，100，3，-13；（2）B
（1）4个矩形拼成大正方形，长为$x + 10$，宽为$x$，大正方形边长为$(x + 10) + x = 2x + 10$
中间小正方形边长为$(x + 10) - x = 10$，面积为$10^2 = 100$
大正方形面积$(2x + 10)^2 = 4×x(x + 10) + 100 = 4×39 + 100 = 156 + 100 = 256$
$2x + 10 = \pm 16$
$2x = 6$或$2x = -26$，$x_1 = 3$，$x_2 = -13$
（2）利用图形面积解决代数方程，体现数形结合思想，选B