《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

8. 设$x_1$，$x_2$是方程$x^2 - mx = 0$的两个根，且$x_1 + x_2 = -3$，则$m$的值是______．

答案： -3
解析：方程$x^2 - mx = 0$两根为$0$和$m$，$x_1 + x_2 = 0 + m = -3$，$m = -3$。

9. 已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的两个实数根，则$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2$的值是______．

答案： 14
解析：$(x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + 3x_1x_2 = x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2$，$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -5$，原式$= 9 - (-5) = 14$。

10. 若一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$的两个根为$m$，$n$，则$3m^2 - 4m + n^2$的值为______．

答案： 6
解析：$m + n = 2$，$mn = -\frac{1}{2}$，$2m^2 - 4m - 1 = 0$即$m^2 = 2m + \frac{1}{2}$，同理$n^2 = 2n + \frac{1}{2}$，$3m^2 - 4m + n^2 = 3(2m + \frac{1}{2}) - 4m + 2n + \frac{1}{2} = 6m + \frac{3}{2} - 4m + 2n + \frac{1}{2} = 2(m + n) + 2 = 2 × 2 + 2 = 6$。

11. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + k - 3 = 0$有实数根．（1）求实数$k$的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，若$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = -1$，求$k$的值．

答案： （1）$\Delta = 3^2 - 4(k - 3) \geq 0$
$9 - 4k + 12 \geq 0$
$4k \leq 21$
$k \leq \frac{21}{4}$
（2）$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = -1$
$x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = k - 3$
$k - 3 - 3 + 1 = -1$
$k - 5 = -1$
解得$k = 4$

12. 法国数学家韦达在其著作中建立了方程根与系数的关系，人们把这个表示方程根与系数关系的定理称为韦达定理.
韦达定理的内容如下：已知一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，它的两个根$\alpha$，$\beta$满足关系$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$，$\alpha\beta = \frac{c}{a}$. 韦达定理还有逆定理，内容如下：如果两个数$\alpha$和$\beta$满足关系$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$，$\alpha\beta = \frac{c}{a}$，那么这两个数$\alpha$和$\beta$是方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$的根. 通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两个数的和、积的关系构造一元二次方程.
请应用上述材料解决以下问题：
（1）材料理解
已知$m$，$n$是两个不等的实数，若$m + n = 3$，$mn = -1$，则$m$，$n$可以看成是一元二次方程______的两个根.
（2）类比应用
已知$m$，$n$是两个不等的实数，且满足$mn + (m + n) = 13$，$mn(m + n) = 42$.
① 请写出一个以$mn$和$m + n$的值为根的一元二次方程.
② 若$m + n ＞ mn$，请根据你写的方程求出$m + n$和$mn$的值.

答案： （1）$x^2 - 3x - 1 = 0$；（2）①$x^2 - 13x + 42 = 0$；②$m + n = 7$，$mn = 6$
解析：（1）设方程为$x^2 - (m + n)x + mn = 0$，代入$m + n = 3$，$mn = -1$得$x^2 - 3x - 1 = 0$。
（2）①设$a = mn$，$b = m + n$，则$a + b = 13$，$ab = 42$，方程为$x^2 - 13x + 42 = 0$。
②解方程$x^2 - 13x + 42 = 0$，得$x = 6$或$7$。因为$m + n ＞ mn$，即$b ＞ a$，所以$m + n = 7$，$mn = 6$。