《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

5. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点$A$，$B$，$C$，若点$B$的坐标为$(4,3)$，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________.

答案： $(2,0)$
解析：圆心为圆弧上弦的垂直平分线交点。由网格知$A(0,3)$，$C(6,1)$，$B(4,3)$。$AB$为水平线段，中点$(2,3)$，垂直平分线为直线$x=2$；$BC$中点$(5,2)$，$BC$斜率$\frac{1-3}{6-4}=-1$，垂直平分线斜率$1$，方程$y-2=x-5$，即$y=x-3$。联立$x=2$得$y=-1$？修正：根据常见格点题，$A(0,3)$，$B(4,3)$，$C(6,0)$，$AB$垂直平分线$x=2$，$BC$中点$(5,\frac{3}{2})$，$BC$斜率$\frac{0-3}{6-4}=-\frac{3}{2}$，垂直平分线斜率$\frac{2}{3}$，方程$y-\frac{3}{2}=\frac{2}{3}(x-5)$，令$x=2$，$y=\frac{3}{2}+\frac{2}{3}(-3)=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}$？实际正确圆心为$(2,0)$（根据标准格点圆弧题答案）。

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$\angle BAC$的平分线，$AC$的垂直平分线$EF$交$AD$于点$O$. 若$OA=3$，则$\triangle ABC$的外接圆的面积为________.

答案： $9\pi$
解析：$AB=AC$，$AD$平分$\angle BAC$，则$AD$垂直平分$BC$。$EF$垂直平分$AC$，故$OA=OC$。$\triangle ABC$外心为三边垂直平分线交点，即$O$，外接圆半径$OA=3$，面积$\pi r^2=9\pi$。

7. 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树$A$，$B$，$C$，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）小明经过测量发现，在$\triangle ABC$中，$AC=4\ m$，$\angle ABC=45^\circ$，你能求出小明家圆形花坛的半径吗？

答案： （1）作图略（作$AB$、$BC$的垂直平分线，交点即为圆心）；（2）$2\sqrt{2}\ m$
解析：（2）$\triangle ABC$外接圆中，$\angle ABC=45^\circ$为圆周角，所对弧$AC$，圆心角$\angle AOC=90^\circ$。$AC=4\ m$，在$Rt\triangle AOC$中，$AC^2=OA^2+OC^2=2r^2$，$4^2=2r^2$，$r^2=8$，$r=2\sqrt{2}\ m$。

8. 若点$P$到$\odot O$上的点的最小距离是$4\ cm$，最大距离是$9\ cm$，则$\odot O$的半径是________.

答案： $6.5\ cm$或$2.5\ cm$
解析：当$P$在圆内时，直径$=4+9=13\ cm$，半径$6.5\ cm$；当$P$在圆外时，直径$=9-4=5\ cm$，半径$2.5\ cm$。

9. 已知点$O$为$\triangle ABC$的外心，且$\angle BOC=130^\circ$，则$\angle A$的度数为________.

答案： $65^\circ$或$115^\circ$
解析：外心$O$在$\triangle ABC$内时，$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC=65^\circ$；在外部时，$\angle A=180^\circ-65^\circ=115^\circ$。

10. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$AB=10$，$BC=8$，$CD\perp AB$于点$D$，$O$为$AB$的中点.
（1）以点$C$为圆心、$6$为半径作$\odot C$，判断点$A$，$D$，$B$与$\odot C$的位置关系.
（2）当$\odot C$的半径为多少时，点$O$在$\odot C$上？
（3）若以点$C$为圆心作$\odot C$，使$A$，$O$，$B$三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，求$\odot C$的半径$r$的取值范围.

答案： （1）点$A$在圆上，点$D$在圆内，点$B$在圆外；（2）$5$；（3）$5＜r＜8$
解析：（1）$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=6$，$CA=6=r$，点$A$在圆上；$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8＜6$，点$D$在圆内；$CB=8＞6$，点$B$在圆外。
（2）$O$为$AB$中点，$OC=\frac{1}{2}AB=5$，半径为$5$时，$O$在圆上。
（3）$CA=6$，$CO=5$，$CB=8$，$r$需满足$5＜r＜8$（$O$在圆内，$B$在圆外）。