《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

21. （1）据统计，某生鲜电商平台2025年1月份的销售额是225万元，2025年3月份的销售额是324万元. 若该平台2025年1月份至3月份的月平均增长率都相同，则月平均增长率是多少？
（2）经市场调查发现，某水果在某平台上的售价为每千克24元时，每天能销售300 kg；售价每降低2元，每天可多售出100 kg. 为了宣传推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存. 已知该水果的成本价为每千克12元，若销售该水果想要每天获利4000元，则售价应降低多少元？

答案： （1）20%；（2）4元
解析：（1）设增长率$r$，$225(1+r)^{2}=324$，$(1+r)^{2}=1.44$，$r=0.2=20\%$；
（2）设降价$x$元，销量$300+50x$，利润$(12-x)(300+50x)=4000$，解得$x=2$或$4$，减少库存取$x=4$.

22. 如图，一个边长为8 m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成. 在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且$DG=1$ m，$AE=AF=x$ m，在$\triangle AEF$，$\triangle DEG$和五边形EFBCG这三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元.
（1）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积.
（2）若其余3块小正方形花坛种植花卉的种类与成本均与小正方形ABCD相同，则当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？

答案： （1）$-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+14$；（2）$x=0.5$
解析：（1）小正方形边长4 m，面积16 m². $\triangle AEF$面积$\frac{1}{2}x^{2}$，$\triangle DEG$面积$\frac{1}{2}(4-x)×1$，五边形面积$16-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}(4-x)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+14$；
（2）一个小正方形费用：$20×\frac{1}{2}x^{2}+20×\frac{1}{2}(4-x)+10×(-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+14)=5x^{2}-5x+180$，总费用$4(5x^{2}-5x+180)=715$，解得$x=0.5$.

23. 在某数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究：如图（1）所示是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点.
（1）发现问题
在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数和，但是遇到较大的点数时，不推荐“逐个数”行数.
（2）提出问题
小明提出问题：300是前多少行的点数和？
（3）分析问题
同学们分别从数和形两个角度探究前n行的点数和.
从数的角度看
通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法.
例：求前10行的点数.
$S=1+2+3+\cdots+10$①，
将①式倒排序：
$S=10+9+\cdots+2+1$②，
①+②，即
$2S=(10+1)+(9+2)+\cdots+(10+1)$
$=11×10=110$，
$\therefore S=55$，
$\therefore$前10行点数和为55.
从形的角度看
利用图形的特征进行计算. 如图（2），将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原图形的三角形点阵拼成一个平行四边形点阵，原三角形点阵点数和为平行四边形点阵点数和的一半.
（4）解决问题
根据以上材料，类比“从数的角度看”的推理方法，请推导出前n行的点数和（用含n的代数式表示），并解决小明提出的问题.
（5）应用延伸
如果把三角形点阵的点数依次换为1，3，5，7，…，$2n-1$，…（如图（3）），这个新的三角形点阵前n行的点数和能是600吗？请说明理由.

答案： （4）$S=\frac{n(n+1)}{2}$，前24行；（5）不能
解析：（4）$S=1+2+\cdots+n$，倒序相加$2S=n(n+1)$，$S=\frac{n(n+1)}{2}$. 方程$\frac{n(n+1)}{2}=300$，解得$n=24$；
（5）新点阵和$S=1+3+\cdots+(2n-1)=n^{2}$. $n^{2}=600$，$n=\sqrt{600}\approx24.49$不是整数，故不能.