《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

17. 小明与小芳解方程$2(x-3)=(x-3)^{2}$的过程如下. 你认为他们的解答是否正确？若正确，请在框内横线上打“√”；若错误，请在框内横线上打“×”，并在右边的方框内写出你的解答过程.
小明
解：两边同除以$(x-3)$，
得$2=x-3$，
$\therefore x=5$.
判断：__________
小芳
解：$2(x-3)-(x-3)^{2}=0$，
$(x-3)(2-x-3)=0$，
$(x-3)=0$或$2-x-3=0$，
$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-1$.
判断：__________
你的解答

答案： 小明：×；小芳：×；解答过程：$(x-3)^{2}-2(x-3)=0$，$(x-3)(x-3-2)=0$，$x-3=0$或$x-5=0$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=5$
解析：小明忽略$x-3=0$的情况；小芳因式分解错误，应为$(x-3)(2-(x-3))=(x-3)(5-x)$.

18. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(k+1)x-6=0$的一个根为2，求k的值及另一个根.

答案： $k=-2$，另一个根为-3
解析：将$x=2$代入方程：$4-2(k+1)-6=0$，解得$k=-2$. 方程为$x^{2}+x-6=0$，另一根$x=-3$（由韦达定理$2x=-6$）.

19. 已知一元二次方程$x^{2}-3x+\frac{1}{2}=0$的两个根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，求$\frac{x_{2}}{x_{1}}+2x_{1}x_{2}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$的值.

答案： 17
解析：$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}$. 原式$=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}+2x_{1}x_{2}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}+2x_{1}x_{2}=\frac{9-1}{\frac{1}{2}}+1=16+1=17$.

20. 已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}-2bx+(a-c)=0$，其中a，b，c分别为$\triangle ABC$三边的长.
（1）如果$x=1$是方程的根，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由.
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由.
（3）如果$\triangle ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

答案： （1）等腰三角形；（2）直角三角形；（3）$x_{1}=0$，$x_{2}=1$
解析：（1）代入$x=1$得$a+c-2b+a-c=0$，$2a=2b$，$a=b$，等腰三角形；
（2）$\Delta=4b^{2}-4(a+c)(a-c)=0$，$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，直角三角形；
（3）$a=b=c$，方程为$2ax^{2}-2ax=0$，$2ax(x-1)=0$，根$x=0$或$x=1$.