《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

9. 一元二次方程的几何解法（二）
阅读材料，回答下列问题：花拉子米（约780—约850）利用正方形巧妙解出了一元二次方程$x^2 + 10x - 39 = 0$的一个解.
（1）观察方程结构，可以将其表示为一个长为$(x + 10)$，宽为$x$，面积为39的矩形. 若剪去两个长、宽都分别为$x$和5的小矩形，如图（1），将这两个小矩形和剩下的边长为$x$的正方形重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图（2）所示的大正方形.
图（2）中，补上的空白小正方形的边长为 ______；通过不同的方式表示大正方形的面积，可以得到$(x +$______$)^2 = 39 +$______；利用平方根的意义，可以解得$x_1 =$______，$x_2 =$______.
（2）请用配方法解方程$x^2 + 4x - 5 = 0$.
（3）运用上述方法构造出符合方程$x^2 + 4x - 5 = 0$的一个正根的正方形.

答案： （1）5，5，25，3，-13；（2）$x_1 = 1$，$x_2 = -5$；（3）见解析
（1）剪去两个长$x$宽5的矩形，空白小正方形边长为5
大正方形边长为$x + 5$，面积$(x + 5)^2 = 39 + 5×5 = 39 + 25 = 64$
$x + 5 = \pm 8$，$x_1 = 3$，$x_2 = -13$
（2）$x^2 + 4x = 5$
$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$
$(x + 2)^2 = 9$
$x + 2 = \pm 3$，$x_1 = 1$，$x_2 = -5$
（3）构造长为$x + 4$，宽为$x$的矩形，面积$x(x + 4) = 5$，剪去两个长$x$宽2的矩形，拼成大正方形，边长$x + 2$，面积$(x + 2)^2 = 5 + 2^2×2 = 5 + 8 = 13$（此处按题目要求画图，描述略）