《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

8. 如图，在菱形ABCD中，$ AB=6 $，$ \angle B=60^{\circ} $，矩形PQNM的四个顶点分别在菱形的四条边上，$ AP=AQ=CM=CN $，则矩形PQNM的最大面积为______.

答案： $ \frac{9\sqrt{3}}{2} $
解析：设$ AP=AQ=x $，则$ PQ=x\sqrt{3} $，$ QM=6 - 2x $，面积$ S=x\sqrt{3}(6 - 2x) $，对称轴$ x=1.5 $，最大值$ \frac{9\sqrt{3}}{2} $.

9. 如图，有长为16m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可利用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且在BC上造了宽均为1m的两个小门. 设花圃宽AB为x（单位：m），花圃的面积为S（单位：$ m^{2} $）.
（1）求S关于x的函数解析式及x的取值范围.
（2）当AB为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值为多少？

答案： （1）$ S=-x^{2}+11x $，$ 1\leq x＜11 $.
解析：BC=11 - x，$ x\geq1 $（墙长限制）且$ x＜11 $，面积$ S=x(11 - x)=-x^{2}+11x $.
（2）对称轴$ x=5.5 $，$ S_{max}=30.25m^{2} $.
解析：当$ x=5.5 $时，面积最大为$ 30.25m^{2} $.