《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

21. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 2x - 3m^2 = 0 $.
（1）求证：方程总有两个不等的实数根.
（2）若方程的两个实数根分别为$\alpha$，$\beta$，且$\alpha + 2\beta = 5$，求$ m $的值.

答案： （1）$\Delta = 4 + 12m^2$，$m^2 \geq 0$，则$\Delta ＞ 0$，方程总有两个不等实根.
（2）$\alpha + \beta = 2$，$\alpha + 2\beta = 5$，解得$\beta = 3$，$\alpha = -1$. $\alpha\beta = -3 = -3m^2$，$m^2 = 1$，$m = \pm 1$.

22. 某校计划举办“冰雪运动进校园”活动，在校园内一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示. 已知空地长27 m，宽12 m，矩形冰场的长与宽的比为4:3，如果要使冰场的总面积是原空地面积的$\frac{2}{3}$，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？

答案： 设冰场长$4k$，宽$3k$，面积$12k^2$，两块总面积$24k^2 = \frac{2}{3} × 27 × 12 = 216$，$k = 3$，冰场长12 m，宽9 m. 设上下通道宽$a$，左右通道宽$b$，则$2 × 9 + 3b = 12$，$12 + 2a = 27$，解得$b = 1$，$a = 7.5$.
答：上下通道宽7.5 m，左右通道宽1 m.

23. 某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个.
（1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率.
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度. 该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能的同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？

答案： （1）设增长率为$x$，$200(1 + x)^2 = 288$，$(1 + x)^2 = 1.44$，$x = 20\%$.
答：平均增长率为20%.
（2）设增加$n$条生产线，每条产能$600 - 20n$，$(n + 1)(600 - 20n) = 2600$，$n^2 - 29n + 100 = 0$，$n = 4$（$n = 25$舍）.
答：应再增加4条生产线.