《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

10. 已知二次函数$ y=a(x+m)² $的顶点坐标为$ (-1, 0) $，且过点$ A(-2, -\frac{1}{2}) $.
（1）求这个二次函数的解析式.
（2）点$ B(2, -2) $在这个函数的图象上吗？
（3）你能通过向左或向右平移该函数图象，使平移后的图象经过点$ B $吗？若能，请写出平移方案.

答案： （1）顶点$ (-m,0)=(-1,0) $，$ m=1 $，设$ y=a(x+1)² $. 代入$ A(-2,-\frac{1}{2}) $得$ -\frac{1}{2}=a(1) $，$ a=-\frac{1}{2} $，解析式$ y=-\frac{1}{2}(x+1)² $.
（2）$ x=2 $时$ y=-\frac{1}{2}(3)²=-\frac{9}{2}≠-2 $，不在.
（3）能，向右平移1个单位或5个单位.
解析：设平移后$ y=-\frac{1}{2}(x+1 - h)² $，代入$ B(2,-2) $得$ -2=-\frac{1}{2}(3 - h)² $，$ (3 - h)²=4 $，$ h=1 $或$ h=5 $.

11. 如图，抛物线$ y=ax² +1 $与过点$ D(0, -3) $且平行于$ x $轴的直线交于点$ A $，$ B $，与$ y $轴交于点$ C $，若$ \triangle ABC $为等腰直角三角形，求$ a $的值.

答案： 直线$ y=-3 $与抛物线交于$ A(\pm\sqrt{-\frac{4}{a}}, -3) $，$ C(0,1) $. $ \triangle ABC $为等腰直角三角形，$ C $到$ AB $距离为$ 4 $，$ AB=8 $，即$ 2\sqrt{-\frac{4}{a}}=8 $，解得$ a=-\frac{1}{4} $.