《2025年学生基础性作业九年级数学上册人教版》

6. 某商品的销售利润$ y $（单位：元）与销售单价$ x $（单位：元）之间的函数关系式为$ y = -x^2 + 6x - 7 $. 若不考虑其他因素，该商品的单价定为______元时，销售该商品获得的利润最大.

答案： 3
解析：二次函数$ y = -x^2 + 6x - 7 $的对称轴为$ x = -\frac{6}{2 × (-1)} = 3 $，因为$ -1 ＜ 0 $，所以当$ x = 3 $时，利润最大。

7. 商店销售一种进价为20元/顶的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量$ w $（单位：顶）与销售单价$ x $（单位：元）满足关系式$ w = -2x + 80 $（$ 20 \leq x \leq 40 $），应如何定价才能使每天的销售利润最大？

答案： 设每天销售利润为$ y $元，由题意得：
$ y = (x - 20)w = (x - 20)(-2x + 80) = -2x^2 + 120x - 1600 $，其中$ 20 \leq x \leq 40 $.
对称轴为$ x = -\frac{120}{2 × (-2)} = 30 $，在定义域内.
当$ x = 30 $时，$ y_{max} = -2 × 30^2 + 120 × 30 - 1600 = 200 $.
答：定价为30元/顶时，每天销售利润最大，最大利润为200元.

8. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园销售人员在网络平台上直播销售荔枝. 已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于20元/kg，且每售卖1 kg需向网络平台支付2元的相关费用. 经过一段时间的直播销售发现，每日销售量$ y $（单位：kg）与销售价格$ x $（单位：元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系.
（1）求$ y $关于$ x $的函数解析式.
（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大？最大利润为多少元？

答案： （1）设$ y = kx + b $，由图知函数过$ (8, 2200) $和$ (14, 1600) $.
则$ \begin{cases} 8k + b = 2200 \\ 14k + b = 1600 \end{cases} $，解得$ \begin{cases} k = -100 \\ b = 3000 \end{cases} $.
$ \therefore y = -100x + 3000 $（$ 8 \leq x \leq 20 $）.
（2）日获利$ W = (x - 6 - 2)y = (x - 8)(-100x + 3000) = -100x^2 + 3800x - 24000 $.
对称轴$ x = -\frac{3800}{2 × (-100)} = 19 $，在定义域内.
当$ x = 19 $时，$ W_{max} = -100 × 19^2 + 3800 × 19 - 24000 = 12100 $.
答：（1）$ y = -100x + 3000 $；（2）定价19元/kg时，日获利最大，最大利润12100元.